Test the following series for convergence or divergence.
1. \(\sum_{n=1}^{\infty} \frac{n}{(4n - 1)(4n - 3)}\).
Resposta:
Utilizando o método de comparação no limite:
Se \(a_n\) = \(\frac{n}{(4n - 1)(4n - 3)}\) e \(b_n\) = \(\frac{1}{16n}\),
\(\hspace{0.7cm} = \lim_{n\rightarrow \infty} \frac{a_n}{{b_n}} = \lim_{n\rightarrow \infty} \frac{\frac{n}{(4n - 1)(4n - 3)}}{\frac{1}{16n}}\)
\(\hspace{3.05cm} = \lim_{n\rightarrow \infty} \frac{16n^2}{(4n - 1)(4n - 3)}\)
\(\hspace{3.05cm} = \lim_{n\rightarrow \infty} \frac{16n^2}{16n^2 - 16n + 3}\)
\(\hspace{3.05cm} = \lim_{n\rightarrow \infty} \frac{16n^2}{n^2(16 - \frac{16}{n} + \frac{3}{n^2})}\)
\(\hspace{3.05cm} = \lim_{n\rightarrow \infty} \frac{16n^2}{n^2(16 - \frac{16}{n} + \frac{3}{n^2})}\)
\(\hspace{3.05cm} = \lim_{n\rightarrow \infty} \frac{16}{16 - \frac{16}{n} + \frac{3}{n^2}}\)
\(\hspace{3.05cm} = 1\)
Sabendo que \(\sum b_n\) diverge (série harmônica) e o limite por comparação deu um valor finito e positivo, podemos concluir que \(a_n\) também diverge.
