Eu e o Marciel escolhemos o seguinte exercício:
Prove que \(MA_{\kappa}\) implica que toda ordem total de tamanho \(\kappa\) pode ser embedded em \(\mathcal{P}(\omega)/fin\). Ou seja, se \(\prec\) é uma ordem total de \(X\) e \(|X| = \kappa\), então existe \(A_{x} \in [\omega]^{\omega}\) tal que se \(x \prec y\), \(A_{x} \setminus A_{y}\) é finito e \(A_{y} \setminus A_{x}\) é infinito.
Com efeito, considere
\(\mathbb{P} = \{(S,k,\sigma) \, | \, S \in [X]^{< \omega}, k \in \omega, \sigma \in \) Fn\((X\times \omega, 2)\) com dom\((\sigma) = S \times k\}\)
com a ordem dada por \((S_q, k_q, \sigma_q) \leq (S_p, k_p, \sigma_p)\) se, e somente se, \(S_{q} \supset S_{p}\), \(k_{q} \geq k_{p}\), \(\sigma_{q} \supset \sigma_{p}\) e para todos \(x, y \in S_{p}, n \in \omega\) tais que \(x \,\, \triangleleft \,\, y\) e \(k_{p} \leq n \leq k_{q}\), temos \(\sigma_{q}(x, n) \leq \sigma_{q}(y, n)\).\vspace{0.1cm}
Segue que \((\mathbb{P}, \leq)\) é ccc pois, caso contrário, dada uma anticadeia não enumerável \(A \subset \mathbb{P}\), como cada \(k \in \omega\) (que é enumerável), haveria uma anticadeia \(A' \subset A\) não enumerável tal que para todos \(p = (S_p, k_p, \sigma_p)\ q = (S_q, k_q, \sigma_q) \in A'\), temos \(k_p = k_q\) e, nesse caso, \(p \not\perp q\) se, e somente se, \(\sigma_p \not\perp \sigma_q\), isto é, \(p \perp q\) se, e somente se \(\sigma_p \perp \sigma_q\) e, consequentemente, uma anticadeia não enumerável em \(\mathbb{P}\) induziria uma anticadeia não enumerável em Fn\((X\times\omega, 2)\), o que é absurdo pois Fn\((X\times\omega, 2)\) é ccc (\textbf{Lema III.3.7}).\vspace{0.1cm}
Agora, dado \(x \in X\) e \(n \in \omega\), considere o conjunto \(D(x,n) = \{p \in \mathbb{P} \, | \, (x,n) \in\) dom\((\sigma_p)\) e existe \(k > n\) tal que \(\sigma_p(x,k) = 1\)\(\}\). Temos que o conjunto \(\mathcal{D} = \{D(x,n)\}_{(x,n) \in X \times \omega}\) é uma família de densos sobre \(\mathbb{P}\) com \(|\mathcal{D}| = \kappa\). De fato dado \(p = (S_p, k_p, \sigma_p)\in \mathbb{P}\), considere
\(q = (S_p \cup \{x\},\) max\(\{n+1,k_p\}+1, \sigma_q)\), onde\vspace{0.2cm}
\(\begin{cases}
\sigma_q(y,k) = \sigma_p(y,k), & \text{se} \,\, y \in S_p \,\, \text{e} \,\, k \in k_p \\
\sigma_q(y, \text{max}\{n+1,k_p\}) = 1, & \text{se} \,\, y \in S_p \cup \{x\} \\
\sigma_q(y,k) = 0, & \text{caso contrário}
\end{cases}\)
Evidentemente \(S_p \cup \{x\} \supset S_p\), max\(\{n+1,k_p\}+1 \geq k_p\) e \(\sigma_q \supset \sigma_p\), ademais, \((x,n) \in \text{dom}(\sigma_q)\) e \(\sigma_q(x,\text{max}\{n+1,k_p\}) = 1\), onde \(\text{max}\{n+1,k_p\} > n\), ou seja, \(q \in D(x,n)\). Além disso, dados \(x,y \in S_p, k \in \omega\) com \(x\triangleleft y\) e max\(\{n+1,k_p\}+1 > k \geq k_p\), temos dois casos, ou \(k = \text{max}\{n+1,k_p\}\) e assim
\(1 = \sigma_q(x,k) \leq \sigma_q(y,k) = 1\)
ou \(k < \text{max}\{n+1,k_p\}\) e
\(0 = \sigma_q(x,k) \leq \sigma_q(y,k) = 0\)
isto é, \(q \leq p\).\vspace{0.1cm}
Por \(MA(\kappa)\), existe um filtro \(G\) \(\mathcal{D}\)-genérico sobre \(\mathbb{P}\), em particular, podemos considerar \(G' = \{\sigma_p \, | \, p \in G\}\) e este é um filtro sobre Fn\((X\times\omega,2)\), consequentemente, \(F = \cup G'\) é uma função de \(X\times\omega\) em \(2\) (\textbf{Exercício 2.1.13.}). Enfim, nos resta mostrar que \(A_x = \{k\in\omega \, | \, F(x,k) = 1\}\) satisfaz as condições desejadas.\vspace{0.1cm}
\(A_x \in [\omega]^\omega\). Suponha que não, então existe \(n_0 = \text{max} A_x\) e portanto podemos tomar \(q \in D(x,n_0) \cap G \neq \varnothing\), como \(q \in D(x,n_0)\), existe \(k > n_0\) tal que \(\sigma_q(x,k) = 1\), no entanto, como \(q \in G\), temos \(F(x,k) = \sigma_q(x,k) = 1\), o que é absurdo, pois teríamos \(k \in A_x\) e \(k > \text{max} A_x\), logo \(A_x\) é infinito.\vspace{0.1cm}
\(A_x \backslash A_y\) é finito. Com efeito, dados \(x,y \in X\) com \(x \,\, \triangleleft \,\, y\), tome \(p = (S_P, k_p, \sigma_p),\) \(q_n = (S_{q_n}, k_{q_n}, \sigma_{q_n}) \in G\) com \(x,y \in S_p,S_{q_n}\) e \(k_{q_n} > k_p + n, n \in \mathbb{N}\). Como \(G\) é filtro, existe \(r_n = (S_{r_n}, k_{r_n}, \sigma_{r_n}) \in G\) tal que \(r_n \leq q_n, p\), dessa forma, como \(r_n \leq q_n\), \(k_{r_n} \geq k_{q_n} > k_p + n\), por outro lado, como \(r_n \leq p\), dado \(m \in \omega\) com \(k_{r_n} > m \geq k_p\), temos \(\sigma_{r_n}(x,m) \leq \sigma_{r_n}(y,m)\), em particular, \(F(x,m) \leq F(y,m)\) para \(k_p + n \geq m \geq k_p\) para qualquer \(n \in \mathbb{N}\) (pois \(r_n \in G\)), ou seja, \(A_x \backslash A_y \subset k_p\) e portanto é finito.