O primeiro exercício que Sabrina e eu escolhemos entregar para a disciplina é o III.3.29, cujo enunciado é
Denote por \(\mu\) a medida de Lebesgue em \(\Bbb{R}^n\), onde \(n\ge 2\). Seja \(\Bbb P\) o conjunto de todos os \(p\subseteq \Bbb R^n\) tais que \(\mu(p)<\varepsilon\) e \(p\) é aberto. Mostre que \(\Bbb P\) é ccc e que \(MA_\Bbb P(\kappa)\) implica em a união de \(\kappa\) conjuntos de medida nula tem medida nula.
Last edited by Modeus on 16 Dec 2022 16:56, edited 2 times in total.
Observe que o conjunto \(\varnothing\) é aberto, conexo e \(\mu(\varnothing) = 0<\varepsilon\), logo, \(\varnothing\in \mathbb P\). Além disso, é claro que, para todo \(p\in \mathbb P\), \(\varnothing \subset p\), portanto, \(\varnothing\) é elemento mínimo. Segue que toda anti-cadeia de \(\mathbb P\) é unitária, logo, \(\mathbb P\) é ccc.
Seja \(\mathcal B\) uma base enumerável de \(\mathbb R^n\) e \(\mathcal C\) o conjunto de todas as uniões finitas de elementos de \(\mathcal B\). É claro que \(\mathcal C\) também é enumerável.
Além disso, como \(\mathcal B\) é base enumerável, dado \(p\in\mathbb P\), existem \(b_0, b_1, \dots\in \mathcal B\) com \(p = \bigcup_{n\in \omega} b_n\). Assim, dado \(\delta>0\), existe \(N\in\mathcal B\) tal que, para \(c = \bigcup_{n=0}^N b_n\in \mathcal C\), temos \(\mu(p - c)<\delta\). Observe que \(c\subset p\), portanto, \(p-c = p\triangle c\).
Obs.: \(A \triangle B\) denota a diferença simétrica \((A\cup B)-(A\cap B)\) entre os conjuntos \(A\) e \(B\).
Suponha que \(A = \{p_\alpha: \alpha<\omega_1\}\subset\mathbb P\) é uma anticadeia. Dado \(\delta>0\), defina \(I_\delta := \{\alpha<\omega_1: \mu(p_\alpha)<\varepsilon-3\delta\}\). Então, como \(\omega_1 = \bigcup_{n\in\omega} I_{\frac{1}{n+1}}\), existe \(\delta>0\) tal que \(I_\delta\) é não-enumerável. Dado \(\alpha\in I_\delta\), escolha \(c_\alpha\in\mathcal C\), \(c_\alpha\subset p_\alpha\), tal que \(\mu(p_\alpha\triangle c_\alpha)<\delta\). Se \(\alpha, \beta\in I_\delta,~\alpha\neq \beta\), então \(p_\alpha\perp p_\beta\), portanto, \(\mu(p_\alpha\cup p_\beta)\ge \varepsilon\). Logo, como \(\mu(p_\alpha\cap p_\beta)<\varepsilon-3\delta\), temos \(\mu(p_\alpha\triangle p_\beta)\ge 3\delta\). Uma vez que \(\mu(p_\alpha\triangle c_\alpha), \mu(p_\beta\triangle c_\beta)<\delta\), temos \(\mu(c_\alpha\triangle c_\beta)>\delta\) e assim, \(c_\alpha\neq c_\beta\).
Segue que \(c_\alpha\) é um elemento diferente de \(\mathcal C\) para cada \(\alpha\in I_\delta\). Absurdo, pois não pode haver injeção de \(I_\delta\) em \(\mathcal C\).
Concluímos que \(\mathbb P\) é ccc.
Last edited by dory on 10 Dec 2022 17:21, edited 1 time in total.
Para cada \(\alpha<\kappa\) seja \(M_\alpha\) um subconjunto de \(\mathbb R\) de medida nula, isto é, dado \(\varepsilon>0\), existe \(U\subset\mathbb R\) aberto tal que \(M_\alpha\subset U\) e \(\mu(U)\le \varepsilon\).
Defina o conjunto \(D_\alpha := \{p\in\mathbb P: M_\alpha\subset p\}\). Afirmamos que \(D_\alpha\) é denso. De fato, dado \(q\in\mathbb P\), temos \(\mu(q)<\varepsilon\), logo, existe \(U\subset\mathbb R\) aberto tal que \(M_\alpha\subset U\) e \(\mu(U)\le \varepsilon-\mu(q)\). Dessa forma, \(p = q\cup U\) tem medida menor que \(\varepsilon\), logo, \(p\in D_\alpha\) e \(p\le q\).
Por \(MA_\mathbb P (\kappa)\), existe \(F\) filtro tal que \(F\cap D_\alpha\neq \varnothing\) para todo \(\alpha<\kappa\). É claro que, se \(V = \bigcup F\), então \(F\cap D_\alpha\neq\varnothing\) implica em \(M_\alpha\subset V\), isto é, \(\bigcup_{\alpha<\kappa} M_\alpha\subset V\). Além disso, \(V\) é aberto, portanto, basta mostrar que \(\mu(V)\le \varepsilon\) para concluirmos que \(\bigcup_{\alpha<\kappa} M_\alpha\) tem medida nula.
De fato, dados \(p, q\in F\), temos \(r\in F\) tal que \(r\le p, q\), ou seja, \(r\le p\cup q\), logo, \(p\cup q\in F\). Por indução, mostra-se que, se \(p_1, \dots. p_n\in F\), então \(p_1\cup \dots\cup p_n\in F\), portanto, \(\mu(p_1\cup\dots \cup p_n)<\varepsilon\). Segue da aditividade enumerável de \(\mu\) que \(\mu(\bigcup A)\le\varepsilon\) qualquer que seja o subconjunto enumerável \(A\) de \(F\). Além disso, dado \(p\in F\), existem \(b_0, b_1, \dots\in \mathcal B\) com \(p = \bigcup_{n\in\omega} b_n\). Como \(b_n\ge p\) temos \(b_n\in F\). Dessa forma, se \(A = F\cap \mathcal B\), teremos \(\bigcup A = \bigcup F = V\), sendo \(A\) enumerável. Concluímos que \(\mu(V) = \mu(\bigcup A)\le \varepsilon\), como queríamos.
