[Resolução] 10.4.4

[brenoslivio]

Considere a sequência \(f(n)\) definida por:

\(f(n) = \frac{n^{2} + 3n - 2}{5n^2}\)

(a) Diga se a sucessão converge ou diverge e (b) determine o limite em cada sucessão convergente.

Resp.:

Seja a função contínua \(f(x) = \frac{x^{2} + 3x - 2}{5x^2}\), com \(x > 0\), temos que:

\(f(x) = \frac{x^{2} + 3x - 2}{5x^2} = \frac{x^{2}}{5x^2} + \frac{3x}{5x^2} - \frac{2}{5x^2} = \frac{1}{5} + \frac{3}{5x} - \frac{2}{5x^2} \)

Dessa forma, analisamos o limite tendendo ao infinito com:

\(\lim_{x \to \infty} f(x) = \lim_{x \to \infty} (\frac{1}{5} + \frac{3}{5x} - \frac{2}{5x^2}) = \frac{1}{5} + \underbrace{\lim_{x \to \infty}\frac{3}{5x}}_{0} + \underbrace{\lim_{x \to \infty}-\frac{2}{5x^2}}_{0} = \frac{1}{5} \)

Logo \(f(n)\) converge a \(\mathbf{\frac{1}{5}}\) quando \(n \to \infty\).