\(\)\(\)Boa tarde.
O exercício que escolhi fazer para a disciplina é o III.3.70, que tem o seguinte enunciado:
Sejam \(\mathbb{P}\) e \(\mathbb{Q}\) forcing, sem átomos e enumeráveis. Então \(MA_{\mathbb{P}}(\kappa)\leftrightarrow MA_{\mathbb{Q}}(\kappa)\).
Exercício III.3.70
Re: Exercício III.3.70
Prova: Considere \(\mathbb{T}=\omega^{<\omega}\) o conjunto das sequências finitas de \(\omega\) com a ordem \(s\leq t \Leftrightarrow t\subset s\), lembrando que em \(\mathbb{T}\) temos \(\mathbb{1}=\langle \rangle \). Vamos construir um mergulho denso de \(\mathbb{T}\) em \(\mathbb{P}\), e então pelo Lema III.3.68 vamos ter \(MA_{\mathbb{P}}(\kappa)\leftrightarrow MA_{\mathbb{T}}(\kappa)\). Antes de definirmos o mergulho, vamos fixar \(\mathbb{P}=\lbrace p_k \) \(| k\in\omega\rbrace\), onde \(p_0=1\)
Defina \(i(\langle \rangle)=1_{\mathbb{P}}\).
Agora pelo Lema III.3.21 temos que existe uma anticadeia infinita em \(\mathbb{P}\), como \(\mathbb{P}\) é enumerável, temos que tal anticadeia também é enumerável.
Afirmação 1: Existe uma anticadeia infinita enumerável e maximal \(\mathcal{A}_1\) tal que existe \(r\in\mathcal{A}_1\) com \(r\leq p_1\).
De fato, considere \(A\) uma anticadeia maximal enumerável infinita de \(\mathbb{P}\). Se \(p_1\bot r \) para todo \(r\in A\) então \(A\) não é maximal, o que é um absurdo! Logo existe \(r\in A\) que é compatível com \(p_1\), ou seja, existe \(s\in\mathbb{P}\) tal que \(s\leq r,p_1\). Agora note que dado \(k\in A\) \(k\neq r\) temos \(k\bot s\), pois caso contrário teriamos que existe \(l\in\mathbb{P}\) tal que \(l\leq s,k\) mas então \(l\leq r,k\) o que é um absurdo pois \(A\) é anticadeia. Assim \((A\setminus\lbrace r\rbrace )\cup \lbrace s\rbrace \) é uma anticadeia de \(\mathbb{P}\). Agora tome uma anticadeia maximal \(\mathcal{A}_1\) que estende \((A\setminus \lbrace r\rbrace )\cup \lbrace s\rbrace \). Veja que \(s\in\mathcal{A}_1\) e que \(s\leq p_1\), logo essa é a anticadeia procurada.
Agora tome a enumeração \(\mathcal{A}_1=\lbrace i(\langle m\rangle)\) | \( m\in\omega \rbrace \).
Seja agora \(n_2\in\omega\) o menor natural tal que não existe \(r\in\mathcal{A}_1\) com \(r\leq p_{n_2}\). Como \(\mathcal{A}_1\) é uma anticadeia maximal então existe \(i(\langle m\rangle)\) compatível com \(p_{n_2}\).
Afirmação 2: Existe uma anticadeia infinita enumerável e maximal \(\mathcal{A}_2\) em \(i(\langle m\rangle)\downarrow\) tal que existe \(r\in\mathcal{A}_2\) com \(r\leq p_{n_2}\).
A prova é análoga a da Afirmação 1.
Daí defina \(\mathcal{A}_2=\lbrace i(\langle m,n\rangle )\) | \(n\in\omega \rbrace \) e para \(k\in\omega\) com \(k\neq m\) defina \(\lbrace i(\langle k,n\rangle)\) | \(n\in\omega \rbrace \) uma anticadeia enumerável infinita maximal em \(i(\langle k \rangle )\downarrow\).
Considere \(i\) definida para sequências finitas de naturais com tamanho \(\leq (k-1)\). Considere \(n_k\) o menor natural tal que não existe \(s\) uma sequência finita de naturais de tamanho \((k-1)\) com \(i(s)\leq p_{n_k}\).
Como \(\mathcal{A}_1\) é anticadeia maximal então existe \(i(\langle m_1\rangle)\) compatível com \(p_{n_k}\), isto é, existe \(r_1\in\mathbb{P}\) tal que \(r_1\leq p_{n_k},i(\langle m_1\rangle)\). Daí existe \(i(\langle m_1,m_2\rangle )\) compatível com \(r_1\), isto é, existe \(r_2\in\mathbb{P}\) tal que \(r_2\leq r_1,i(\langle m_1,m_2\rangle)\), logo \(r_2\leq p_{n_k},i(\langle m_1,m_2\rangle)\). Seguindo desta forma existe \(r_{k-1}\in \mathbb{P}\) e \(i(\langle m_1,\dots , m_{k-1}\rangle)\) tais que \(r_{k-1}\leq p_{n_k},i(\langle m_1,\dots , m_{k-1}\rangle)\).
Afirmação 3: Existe uma anticadeia infinita enumerável e maximal \(\mathcal{A}_k\) em \(i(\langle m_1,\dots ,m_{k-1}\rangle)\downarrow\) tal que existe \(r\in\mathcal{A}_k\) com \(r\leq r_{k-1}\).
A prova é análoga a da Afirmação 1.
Assim \(\mathcal{A}_k\) contém \(r\) tal que \(r\leq p_{n_k}\). Daí defina \(\mathcal{A}_k=\lbrace i(\langle m_1,\dots , m_{k-1},n\rangle )\) | \(n\in\omega \rbrace \) e para \(t\) sequência finita de naturais com tamanho \((k-1)\)com \(t\neq \langle m_1, \dots , m_{k-1}\rangle \) defina \(\lbrace i(\langle t,n\rangle)\) | \(n\in\omega \rbrace \) uma anticadeia enumerável infinita maximal em \(i( t )\downarrow\).
Com isso concluimos a construção de \(i\). Agora vamos mostrar que a função definida é um mergulho denso.
Defina \(i(\langle \rangle)=1_{\mathbb{P}}\).
Agora pelo Lema III.3.21 temos que existe uma anticadeia infinita em \(\mathbb{P}\), como \(\mathbb{P}\) é enumerável, temos que tal anticadeia também é enumerável.
Afirmação 1: Existe uma anticadeia infinita enumerável e maximal \(\mathcal{A}_1\) tal que existe \(r\in\mathcal{A}_1\) com \(r\leq p_1\).
De fato, considere \(A\) uma anticadeia maximal enumerável infinita de \(\mathbb{P}\). Se \(p_1\bot r \) para todo \(r\in A\) então \(A\) não é maximal, o que é um absurdo! Logo existe \(r\in A\) que é compatível com \(p_1\), ou seja, existe \(s\in\mathbb{P}\) tal que \(s\leq r,p_1\). Agora note que dado \(k\in A\) \(k\neq r\) temos \(k\bot s\), pois caso contrário teriamos que existe \(l\in\mathbb{P}\) tal que \(l\leq s,k\) mas então \(l\leq r,k\) o que é um absurdo pois \(A\) é anticadeia. Assim \((A\setminus\lbrace r\rbrace )\cup \lbrace s\rbrace \) é uma anticadeia de \(\mathbb{P}\). Agora tome uma anticadeia maximal \(\mathcal{A}_1\) que estende \((A\setminus \lbrace r\rbrace )\cup \lbrace s\rbrace \). Veja que \(s\in\mathcal{A}_1\) e que \(s\leq p_1\), logo essa é a anticadeia procurada.
Agora tome a enumeração \(\mathcal{A}_1=\lbrace i(\langle m\rangle)\) | \( m\in\omega \rbrace \).
Seja agora \(n_2\in\omega\) o menor natural tal que não existe \(r\in\mathcal{A}_1\) com \(r\leq p_{n_2}\). Como \(\mathcal{A}_1\) é uma anticadeia maximal então existe \(i(\langle m\rangle)\) compatível com \(p_{n_2}\).
Afirmação 2: Existe uma anticadeia infinita enumerável e maximal \(\mathcal{A}_2\) em \(i(\langle m\rangle)\downarrow\) tal que existe \(r\in\mathcal{A}_2\) com \(r\leq p_{n_2}\).
A prova é análoga a da Afirmação 1.
Daí defina \(\mathcal{A}_2=\lbrace i(\langle m,n\rangle )\) | \(n\in\omega \rbrace \) e para \(k\in\omega\) com \(k\neq m\) defina \(\lbrace i(\langle k,n\rangle)\) | \(n\in\omega \rbrace \) uma anticadeia enumerável infinita maximal em \(i(\langle k \rangle )\downarrow\).
Considere \(i\) definida para sequências finitas de naturais com tamanho \(\leq (k-1)\). Considere \(n_k\) o menor natural tal que não existe \(s\) uma sequência finita de naturais de tamanho \((k-1)\) com \(i(s)\leq p_{n_k}\).
Como \(\mathcal{A}_1\) é anticadeia maximal então existe \(i(\langle m_1\rangle)\) compatível com \(p_{n_k}\), isto é, existe \(r_1\in\mathbb{P}\) tal que \(r_1\leq p_{n_k},i(\langle m_1\rangle)\). Daí existe \(i(\langle m_1,m_2\rangle )\) compatível com \(r_1\), isto é, existe \(r_2\in\mathbb{P}\) tal que \(r_2\leq r_1,i(\langle m_1,m_2\rangle)\), logo \(r_2\leq p_{n_k},i(\langle m_1,m_2\rangle)\). Seguindo desta forma existe \(r_{k-1}\in \mathbb{P}\) e \(i(\langle m_1,\dots , m_{k-1}\rangle)\) tais que \(r_{k-1}\leq p_{n_k},i(\langle m_1,\dots , m_{k-1}\rangle)\).
Afirmação 3: Existe uma anticadeia infinita enumerável e maximal \(\mathcal{A}_k\) em \(i(\langle m_1,\dots ,m_{k-1}\rangle)\downarrow\) tal que existe \(r\in\mathcal{A}_k\) com \(r\leq r_{k-1}\).
A prova é análoga a da Afirmação 1.
Assim \(\mathcal{A}_k\) contém \(r\) tal que \(r\leq p_{n_k}\). Daí defina \(\mathcal{A}_k=\lbrace i(\langle m_1,\dots , m_{k-1},n\rangle )\) | \(n\in\omega \rbrace \) e para \(t\) sequência finita de naturais com tamanho \((k-1)\)com \(t\neq \langle m_1, \dots , m_{k-1}\rangle \) defina \(\lbrace i(\langle t,n\rangle)\) | \(n\in\omega \rbrace \) uma anticadeia enumerável infinita maximal em \(i( t )\downarrow\).
Com isso concluimos a construção de \(i\). Agora vamos mostrar que a função definida é um mergulho denso.
- Por definição temos que \(i(1_{\mathbb{T}})=1_{\mathbb{P}}\), onde \(1_{\mathbb{T}}=\langle \rangle \).
- Dados \(s,t\in\mathbb{T}\) tais que \(s\leq t\) então por construção \(i(s)\in i(t)\downarrow\), logo \(i(s)\leq i(t).\)
- Dados \(s,t\in\mathbb{T}\), tais que \(s\bot t\) então existe \(n\in\omega\) tal que \(s\upharpoonright n \neq t\upharpoonright n\). Considere \(n\) o menor natural com essa propriedade, então \(s'=\langle s\upharpoonright 0, \dots , s\upharpoonright n\rangle \) e \(t´=\langle t\upharpoonright 0, \dots ,s\upharpoonright n\rangle \) são tais que \(t´\bot s'\), assim pela definição de \(i\) temos \(i(t')\) e \(i(s´)\) são elementos de uma anticadeia em \(\mathbb{P}\), logo \(i(t´)\bot i(s´)\) e então como \(i(s)\leq i(s´)\) e \(i(t)\leq i(t´)\) temos que \(i(t)\bot i(s)\). Recíprocamente, se \(s,t\in\mathbb{T}\) são tais que \(i(s)\bot i(t)\) então se fosse \(s\bot t\) teriamos que existe \(r\in\mathbb{T}\) tal que \(r\leq s,t\) mas então pelo item anterior, \(i(r)\leq i(s),i(t)\) o que é um absurdo! Assim, \(s\bot t\).
- Por construção temos que \(i(\mathbb{T})\) é denso em \(\mathbb{P}\).