Resolução: Essa resolução é definitiva, e foi obtida após as discussões feitas através das outras mensagens deste fórum.
Suponha inicialmente que \(\mathcal{F}\) é enumerável. Então, como os elementos dessa família são enumeráveis, \(\bigcup \mathcal{F}\) é enumerável, existindo \(\eta < \omega_1\) um limitante superior para \(\bigcup \mathcal{F}\). Com isso, \(J = (\eta, \omega_1) = \{\alpha < \omega_1 : \alpha > \eta\}\) é não enumerável e tal que \(J\cap x = \emptyset\) para todo \(x\in \mathcal{F}\). Assim, até o final da resolução, trabalharemos sob a hipótese de que \(|\mathcal{F}|\) é não enumerável e, em particular, que \(\kappa \geq \aleph_1\).
Para tanto, vamos considerar os elementos de uma ordem parcial \(\mathcal{P}\) como pares da forma \((s_p, \mathcal{W}_p)\), em que \(s_p\subset \omega_1\) e \(\mathcal{W}_p\subset \mathcal{F}\) são conjuntos finitos. Intuitivamente, para cada \(p\in \mathbb{P}\), \(s_p\) é uma aproximação finita do conjunto \(J\) procurado. Por sua vez, \(\mathcal{W}_p\) diz respeito a uma promessa de que seus elementos têm intersecção controlada com a aproximação \(s_p\) correspondente. Nesse sentido, gostariámos que, para algum filtro conveniente \(G\) sobre a ordem a ser definida em \(\mathbb{P}\), o conjunto \(J = \displaystyle \bigcup_{p\in G}s_p\) fosse não enumerável e tal que \(|J\cap x| < \omega\) para todo \(x\in \mathcal{F}\). Para tanto, dado \(x\in J\), é suficiente que \(s_p \cap x = s_q \cap x\) para quaisquer \(p,q \in G\). Por essa razão, definimos \(p \leq q\) sempre que \(p,q\in \mathbb{P}\) são tais que
- \(s_p \subset s_q\), isto é, \(s_q\) de fato é uma aproximação para \(J\) que estende \(s_p\);
- \(\mathcal{W}_p \subset \mathcal{W}_q\), isto é, \(\mathcal{W}_q\) tem mais promessas a serem cumpridas;
- Para todo \(x\in \mathcal{W}_p\), tem-se que \(s_q\cap x = s_p\cap x\), ou seja, o controle da intersecção de \(x\) com a aproximação de \(p\) não é perdido.
Provaremos ao final dessa resolução que \((P,\leq)\) é uma ordem que satisfaz ccc. Antes disso, mostraremos como o Axioma de Martin descreve o conjunto \(J\) procurado. Para tanto, fixados \(\alpha < \omega_1\) e \(x\in \mathcal{F}\), defina os conjuntos \(D_{x} = \{p\in \mathbb{P}: x \in \mathcal{W}_p\}\) e \(E_{\alpha} = \{p \in \mathbb{P} : \alpha < \max s_p\}\). Sobre esses subconjuntos de \(\mathbb{P}\), estabelecem-se as seguintes afirmações:
- \(D_x\) é denso em \(\mathbb{P}\) para todo \(x\in \mathcal{F}\). Isso porque, dado um par \(p =(s_p, \mathcal{W}_p)\in \mathbb{P}\), \( q = (s_p, \mathcal{W}_p \cup \{x\})\) é tal que \(x\in \mathcal{W}_q\), \(\mathcal{W}_p\subset \mathcal{W}_q\), \(s_p = s_q\) e (portanto) \(y \cap s_p = y \cap s_q\) para todo \(y\in \mathcal{W}_p\). Ou seja, \(q\) é uma extensão de \(p\) em \(D_x\).
- \(E_{\alpha}\) é denso em \(\mathbb{P}\) para todo \(\alpha < \omega_1\). De fato, dado um par \( p = (s_p, \mathcal{W}_p)\in \mathbb{P}\), a finitude de \(\mathcal{W}_p\) e a enumerabilidade de seus elementos nos garante que existe \(\xi < \omega_1\) um limitante superior para \(\bigcup \mathcal{W}_p\). Como \(s_p\cup \{\alpha\}\) é também finito, podemos supor inclusive que \(\xi\) limita esse conjunto. Logo, \(q = (s_p\cup \{\xi+1\}, \mathcal{W}_p)\) é tal que \(\alpha < \xi +1 = \max s_q\), \(s_p \subset s_q\), \(\mathcal{W}_p = \mathcal{W}_q\) e \(x \cap s_q = x \cap (s_p\cup \{\xi+1\}) = x \cap s_p\) pela escolha de \(\xi\). Ou seja, \(q\) é uma extensão de \(p\) em \(E_{\alpha}\).
Como \(\kappa\) é não enumerável e vale \(\mathrm{MA}(\kappa)\), existe \(G\) um filtro sobre \(\mathbb{P}\) que intersecta todos os densos da família \(\{D_x : x \in \mathcal{F}\}\cup \{E_{\alpha}: \alpha < \omega_1\}\), cujo tamanho é \(\max\{|\mathcal{F}|, \aleph_1\}\leq \kappa\). Observamos que \(J = \displaystyle \bigcup_{p\in G}s_p\) é ilimitado, visto que, dado \(\alpha <\omega_1\), existe \(p\in E_{\alpha}\cap G\). Isto é, \(\max s_p \in J\) é maior que \(\alpha\) para um certo \(p\in G\). Por ser um subconjunto ilimitado de \(\omega_1\), então, \(J\) é não enumerável.
Por outro lado, dado \(x \in \mathbb{P}\), existe \(p_x \in G\) tal que \(x\in \mathcal{W}_{p_x}\), uma vez que \(G\cap D_x \neq \emptyset\). Se \(q\in G\) é outro elemento do filtro, tome uma extensão comum \(r \leq p_x,q\) em \(G\), de modo que, pela definição da ordem \(\leq\), \( s_q \cap x \subset s_r \cap x = s_{p_x} \cap x \). Em resumo, \(J \cap x = \displaystyle \bigcup_{q\in G}s_q \cap x \subset \bigcup_{q\in G}s_{p_x}\cap x = s_{p_x} \cap x\). Logo, \(J\cap x\) é finito, pois \(s_{p_x}\) o é. Ou seja, \(J\) é o conjunto procurado.
Resta-nos, portanto, verificar que \((\mathbb{P},\leq)\) é uma ordem que satisfaz ccc. Para tanto, faremos uso do seguinte resultado técnico, que pode ser encarado como um "princípio da casa dos pombos para ordinais":
Lema: Fixe \(n < \omega\) e \(\alpha\) um ordinal qualquer. Dada uma coloração \(c: \alpha^n \to n\), existe \(J\subset \alpha^n\) monocromático de ordem tipo \(\alpha\).
Prova: Mostraremos esse resultado por indução sobre \(n\), destacando que ele é trivialmente verificado se \(n = 1\). Suponha então que \(n \geq 2\). Lembramos que \(\alpha^{n}\) pode ser obtido da seguinte forma lexicográfica:
Para cada \(\beta < \alpha\), seja \(A_{\beta}\) uma cópia de \(\alpha^{n-1}\). Dados \(a,b \in \displaystyle \bigcup_{\beta < \alpha}A_{\beta}\) (em que essa união é tomada disjunta), sejam \(\gamma,\beta < \alpha\) tais que \(a\in A_{\gamma}\) e \(b \in A_{\beta}\). Se \(\gamma < \beta\), definimos \(a< b\). Se \(\gamma = \beta\), definimos \(a < b\) se \(a < b\) em \(A_{\gamma} = A_{\beta}\).
Com isso, fixada uma coloração \(c: \alpha^n \to n\), suponha que \(c|_{A_{\beta}}\) não é sobrejetora para algum \(\beta < \alpha\). Então, \(c|_{A_{\beta}}\) é uma \((n-1)-\)coloração sobre um conjunto isomorfo (com respeito a ordem) a \(\omega^{n-1}\). Logo, por hipótese indutiva, existe \(J\subset A_{\beta}\) monocromático e com ordem tipo \(\alpha\).
Agora, considere que \(c|_{A_{\beta}}\) é sobrejetora para todo \(\beta < \alpha\). Em particular, para cada \(\beta < \alpha\), é possível escolher \(a_{\beta} \in A_{\beta}\) tal que \(c(a_{\beta}) = 0\). Então, o conjunto procurado pode ser dado por \(J = \{a_{\beta}: \beta < \alpha\}\). \(\square\)
Vamos mostrar que \((\mathbb{P}, \leq)\) é, de fato, uma ordem que satisfaz ccc. Para tanto, fixe \(\{p_{\xi}\}_{\xi < \omega_1}\) um subconjunto qualquer de \(\mathbb{P}\), denotando \(p_{\xi} = (s_{\xi}, \mathcal{W}_{\xi})\) para todo \(\xi < \omega_1\). Sem perda de generalidade, o Lema do \(\Delta-\)Sistema nos permite assumir que \(\{s_{\xi}\}_{\xi < \omega_1}\) forma um sistema de raiz \(\Delta\). Inclusive, para cada \(\xi < \omega_1\), denote \(\Delta_{\xi} = s_{\xi}\setminus \Delta\), de forma que \(\{\Delta_{\xi}\}_{\xi < \omega_1}\) é uma família de conjuntos dois a dois disjuntos.
Aliás, é possível refinar (ainda mais) a família \(\{p_{\xi}\}_{\xi < \omega_1}\) e supor que \(\max \Delta_{\alpha}< \min \Delta_{\beta}\) se \(\alpha < \beta < \omega_1\). De fato, para cada \(\alpha < \omega_1\), a enumerabilidade de \(\displaystyle\bigcup_{\beta < \alpha}\Delta_{\beta}\) nos garante a existência de \(\eta < \omega_1\) um limitante superior para esse conjunto. Assim, basta escolher \(p_{\alpha}\) de modo que \(\min s_{\alpha} > \eta\).
Da mesma forma, uma vez que \(\mathcal{W}_{\xi}\subset [\omega_1]^{\aleph_0}\) é finito para todo \(\xi < \omega_1\), o conjunto \(\displaystyle \bigcup \mathcal{W}_{\xi}\) é enumerável. Assim, é possível definir uma sequência \(\{\eta_{\alpha}\}_{\alpha < \omega_1}\subset \omega_1\) como se segue:
- \(\eta_0 = \sup \bigcup \mathcal{W}_0 + 1\).
- Supondo \(\eta_{\beta}\) definido para todo \(\beta < \alpha\), consideramos \(\eta_{\alpha} = \sup \left(\{\eta_{\beta}: \beta < \alpha\}\cup \bigcup \mathcal{W}_{\alpha}\right) + 1\).
Agora, encontraremos \(\alpha,\beta < \omega_1\) tais que \(p_{\alpha}\not\perp p_{\beta}\). Isso será feito por meio do seguinte processo recursivo:
- Se existe \(\xi > \eta_0\) tal que \(\Delta_0 \cap \bigcup \mathcal{W}_{\xi} = \emptyset\), então \(p_{\xi}\not\perp p_0\). Isso porque \(\Delta_{\xi} \cap \bigcup \mathcal{W}_{0} = \emptyset\) pois \(\min \Delta_{\xi}\geq \xi > \eta_0 > \sup \bigcup \mathcal{W}_0\). Com isso, \((s_0\cup s_{\xi}, \mathcal{W}_0\cup \mathcal{W}_{\xi})\leq p_0,p_{\xi}\). Se isso não ocorre, prossiga com o algoritmo;
- Numa iteração \(\alpha< \omega_1\) do algoritmo, suponha que exista \(\xi > \eta_{\alpha}\) tal que \(\Delta_{\alpha} \cap \bigcup \mathcal{W}_{\xi} = \emptyset\), então \(p_{\xi}\not\perp p_{\alpha}\). Isso porque \(\Delta_{\xi} \cap \bigcup \mathcal{W}_{\alpha} = \emptyset\) pois \(\min \Delta_{\xi}\geq \xi > \eta_{\alpha} > \sup \bigcup \mathcal{W}_{\alpha}\). Com isso, \((s_{\alpha}\cup s_{\xi}, \mathcal{W}_{\alpha}\cup \mathcal{W}_{\xi})\leq p_{\alpha},p_{\xi}\). Se isso não ocorre, prossiga com o algoritmo;
Argumentamos que esse processo deve ser finalizado até a iteração \(\tau^{\omega} <\omega_1\). Por um momento, suponha que isso não ocorre e fixe \(\xi >\tau^{\omega}, \sup\{\eta_{\alpha}: \alpha < \tau^{\omega}\}\). A finitude de \(\mathcal{W}_{\xi}\) nos permite enumerá-lo como \(\mathcal{W}_{\xi} = \{x_1,x_2,\dots,x_n\}\) para algum \(n < \omega\).
Para cada \(\alpha < \tau^{\omega}\), então, devemos ter \(\Delta_{\alpha}\cap \bigcup\mathcal{W}_{\xi} \neq \emptyset\). Se não, como \(\xi > \eta_{\alpha}\), o algoritmo haveria parado no passo \(\alpha\). Assim, existe \(c(\alpha)\in \{1,\dots,n\}\) tal que \(x_{c(\alpha)}\cap \Delta_{\alpha} \neq \emptyset\). Observe que isso define uma coloração \(c : \tau^{\omega} \to \{1,2,\dots,n\} \), que, em particular, está definida sobre \(\tau^n\). Logo, pelo Lema acima, existe \(J\subset \omega^n\) monocromático cuja ordem é do tipo \(\tau\). Tomando \(j = c(J)\), então, concluímos que \( \{v_{\alpha} \in x_j \cap \Delta_{\alpha}: \alpha \in J\} \subset x_j\) é um subconjunto de \(x_j\) com ordem tipo \(\tau\). Isso, porém, contradiz o fato de que a ordem tipo de \(x_j\) é limitada por \(\tau\).