[Resolução] 10.9.24.d
Posted: 13 Sep 2022 22:36
10.9.24.d
Enunciado:
Duas séries \(\sum_{n=1}^{\infty} a_n\) e \(\sum_{n=1}^{\infty} b_n\) dizem-se idênticas se \(a_n = b_n\) para todo \(n \geq 1 \). Por exemplo as séries
\( 0 + 0 + 0 + 0 + \cdots \hspace{0.7cm} e \hspace{0.7cm} (1 - 1) + (1 - 1) + (1 - 1) + \cdots \)
são idênticas, mas as séries
\( 1 + 1 + 1 + 1 + \cdots \hspace{0.7cm} e \hspace{0.7cm} 1 + 0 + 1 + 0 + 1 + 0 + \cdots\)
não são idênticas. Determinar se sim ou não as séries são idênticas em cada um dos seguintes pares:
(d) \(1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{1}{8} + \cdots \hspace{0.5cm} e \hspace{0.5cm} 1 + (1 - \frac{1}{2}) + (\frac{1}{2} - \frac{1}{4}) + (\frac{1}{4} - \frac{1}{8}) + \cdots\) .
Resposta:
Para saber se \(a_n\) e \(b_n\) são iguais, deve-se descobrir as série numérica que formam as duas sequências:
(\(a_n\)) \(1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{1}{8} + \cdots = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{1}{2^n}\)
(\(b_n\)) \(1 + (1 - \frac{1}{2}) + (\frac{1}{2} - \frac{1}{4}) + (\frac{1}{4} - \frac{1}{8}) + \cdots \)
\(\hspace{0.7cm} = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{1}{2^{n-1}} - \frac{1}{2^n} \)
\(\hspace{0.7cm} = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{1}{2^n * 2^{-1}} - \frac{1}{2^n} \)
\(\hspace{0.7cm} = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{2}{2^n} - \frac{1}{2^n} \)
\(\hspace{0.7cm} = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{1}{2^n} * (2 - 1) \)
\(\hspace{0.7cm} = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{1}{2^n} \)
Concluímos então que \(a_n = b_n\), ou seja, as séries são idênticas!
Enunciado:
Duas séries \(\sum_{n=1}^{\infty} a_n\) e \(\sum_{n=1}^{\infty} b_n\) dizem-se idênticas se \(a_n = b_n\) para todo \(n \geq 1 \). Por exemplo as séries
\( 0 + 0 + 0 + 0 + \cdots \hspace{0.7cm} e \hspace{0.7cm} (1 - 1) + (1 - 1) + (1 - 1) + \cdots \)
são idênticas, mas as séries
\( 1 + 1 + 1 + 1 + \cdots \hspace{0.7cm} e \hspace{0.7cm} 1 + 0 + 1 + 0 + 1 + 0 + \cdots\)
não são idênticas. Determinar se sim ou não as séries são idênticas em cada um dos seguintes pares:
(d) \(1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{1}{8} + \cdots \hspace{0.5cm} e \hspace{0.5cm} 1 + (1 - \frac{1}{2}) + (\frac{1}{2} - \frac{1}{4}) + (\frac{1}{4} - \frac{1}{8}) + \cdots\) .
Resposta:
Para saber se \(a_n\) e \(b_n\) são iguais, deve-se descobrir as série numérica que formam as duas sequências:
(\(a_n\)) \(1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{1}{8} + \cdots = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{1}{2^n}\)
(\(b_n\)) \(1 + (1 - \frac{1}{2}) + (\frac{1}{2} - \frac{1}{4}) + (\frac{1}{4} - \frac{1}{8}) + \cdots \)
\(\hspace{0.7cm} = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{1}{2^{n-1}} - \frac{1}{2^n} \)
\(\hspace{0.7cm} = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{1}{2^n * 2^{-1}} - \frac{1}{2^n} \)
\(\hspace{0.7cm} = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{2}{2^n} - \frac{1}{2^n} \)
\(\hspace{0.7cm} = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{1}{2^n} * (2 - 1) \)
\(\hspace{0.7cm} = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{1}{2^n} \)
Concluímos então que \(a_n = b_n\), ou seja, as séries são idênticas!