Olá, pessoal. Não tenho ideia de como iniciar essa questão, alguém poderia me ajudar, por favor?
Determine se a sequência definida a seguir tem um limite. Em caso afirmativo, encontre o limite.
\(a_1 = \sqrt{a}\), \(a_2 = \sqrt{a + \sqrt{a}}\), \(a_3 = \sqrt{a + \sqrt{a + \sqrt{a}}}, ...\), onde \(a > 0\) um número real fixo.
Dúvida
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João Luiz Moraes
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Re: Dúvida
Olá Leonardo, vamos lá.
Primeiramente, vamos provar que a sequência \(a_n\) é sequência é crescente.
Por indução:
Caso n = 2:
\(\sqrt{a} > 0 \)
\(\sqrt{a} + a > a \)
Como a função \(f(x) = \sqrt{x} \) é estritamente crescente, temos
\(\sqrt{ a + \sqrt{a}} > \sqrt{a} \)
\(a_2\) > \(a_1\)
Caso n \(\Longrightarrow\) n+1
\(a_{n+1} > a_n \) (hipótese de indução)
\(a_{n+1} + a > a_n + a \)
\(\sqrt{a_{n+1} + a} > \sqrt{a_n + a} \)
\(a_{n+2} > a_{n+1} \)
Como queríamos demonstrar. Assim, temos que a sequência é estritamente crescente. Vamos provar agora que ela é limitada.
Sabemos que
\( a_{n+1} > a_n \)
\(\sqrt{ a + a_n} > a_n \)
Como a função \(f(x) = x^2 \) é estritamente crescente para \(x > 0\), temos
\( a + a_n > a_n^2 \)
\( a_n^2 - a - a_n < 0 \)
Por "bhaskara", descobrimos que as raízes dessa inequação são
\( a_n = \frac{1 + \sqrt{1 + 4a}}{2} \) e \( a_n = \frac{1 - \sqrt{1 + 4a}}{2} \)
Como o coeficiente dominante é positivo (ou seja, a parábola é um sorriso "feliz"), os valores em que \( a_n^2 - a - a_n < 0 \) são quando
\( \frac{1 - \sqrt{1 + 4a}}{2} < a_n < \frac{1 + \sqrt{1 + 4a}}{2} \)
Em particular,
\( a_n < \frac{1 + \sqrt{1 + 4a}}{2} \)
Assim, a sequência é limitada.
Como a sequência é crescente e limitada, ela converge.
gg
Primeiramente, vamos provar que a sequência \(a_n\) é sequência é crescente.
Por indução:
Caso n = 2:
\(\sqrt{a} > 0 \)
\(\sqrt{a} + a > a \)
Como a função \(f(x) = \sqrt{x} \) é estritamente crescente, temos
\(\sqrt{ a + \sqrt{a}} > \sqrt{a} \)
\(a_2\) > \(a_1\)
Caso n \(\Longrightarrow\) n+1
\(a_{n+1} > a_n \) (hipótese de indução)
\(a_{n+1} + a > a_n + a \)
\(\sqrt{a_{n+1} + a} > \sqrt{a_n + a} \)
\(a_{n+2} > a_{n+1} \)
Como queríamos demonstrar. Assim, temos que a sequência é estritamente crescente. Vamos provar agora que ela é limitada.
Sabemos que
\( a_{n+1} > a_n \)
\(\sqrt{ a + a_n} > a_n \)
Como a função \(f(x) = x^2 \) é estritamente crescente para \(x > 0\), temos
\( a + a_n > a_n^2 \)
\( a_n^2 - a - a_n < 0 \)
Por "bhaskara", descobrimos que as raízes dessa inequação são
\( a_n = \frac{1 + \sqrt{1 + 4a}}{2} \) e \( a_n = \frac{1 - \sqrt{1 + 4a}}{2} \)
Como o coeficiente dominante é positivo (ou seja, a parábola é um sorriso "feliz"), os valores em que \( a_n^2 - a - a_n < 0 \) são quando
\( \frac{1 - \sqrt{1 + 4a}}{2} < a_n < \frac{1 + \sqrt{1 + 4a}}{2} \)
Em particular,
\( a_n < \frac{1 + \sqrt{1 + 4a}}{2} \)
Assim, a sequência é limitada.
Como a sequência é crescente e limitada, ela converge.
gg
Re: Dúvida
Muito boa a explicação do colegal! Para o cálculo do limite, eu havia pensado em algo um pouco parecido:
Observe que \( a_{n+1} = \sqrt{a + a_n} \). Então, seja \( L = \lim_{n \rightarrow \infty} a_n = \lim_{n \rightarrow \infty} \sqrt{a + a_{n-1}} = \sqrt{a + \lim_{n \rightarrow \infty} a_{n-1}}= \sqrt{a+ L}\).
Logo, temos:
\(L = \sqrt{a+L} \Rightarrow L^2 = a + L \Rightarrow L^2 -L-a = 0\)
Temos que as raízes dessa equação são: \(L_1 = (1-\sqrt{4a+1})/2 \) e \(L_2 = (1+\sqrt{4a+1})/2\).
Como \(a>0\) e a sequência numérica \( (a_n)_{n\in \mathbb{N}}\) é crescente, segue que \( 0\leq L\), ou seja, \(L = (1+\sqrt{4a+1})/2\). Portanto, \( \lim_{n\rightarrow \infty} a_n = (1+\sqrt{4a+1})/2\).
Observe que \( a_{n+1} = \sqrt{a + a_n} \). Então, seja \( L = \lim_{n \rightarrow \infty} a_n = \lim_{n \rightarrow \infty} \sqrt{a + a_{n-1}} = \sqrt{a + \lim_{n \rightarrow \infty} a_{n-1}}= \sqrt{a+ L}\).
Logo, temos:
\(L = \sqrt{a+L} \Rightarrow L^2 = a + L \Rightarrow L^2 -L-a = 0\)
Temos que as raízes dessa equação são: \(L_1 = (1-\sqrt{4a+1})/2 \) e \(L_2 = (1+\sqrt{4a+1})/2\).
Como \(a>0\) e a sequência numérica \( (a_n)_{n\in \mathbb{N}}\) é crescente, segue que \( 0\leq L\), ou seja, \(L = (1+\sqrt{4a+1})/2\). Portanto, \( \lim_{n\rightarrow \infty} a_n = (1+\sqrt{4a+1})/2\).