Resolução 10.9.17
Posted: 29 Aug 2022 22:39
Enunciado: Mostrar que \(\sum_{n=0}^{\infty}(n + 1) \cdot x^{n} = \frac{1}{(1-x)^{2}}; |x| < 1\) usando a série telescópica.
Resolução: Esse somatório é igual a: \(1 + 2x + 3x^{2} + 4x^{3} + ...\)
Considerando:
\(I: 1 + x + x^{2} + x^{3} + ... + \)
\(II: x + x^{2} + x^{3} + x^{4} + ... \)
\(III: x^{2} + x^{3} + x^{4} + x^{5} + ...\)
\(...\)
\(N: x^{n - 1} + x^{n} + ...\)
Temos que o somatório do enunciado é igual a: \(I + II + III + ... + N\)
Mas,
\(I = \frac{1}{(1 - x)}\) (série telescópica)
\(II = I \cdot x = \frac{x}{(1 - x)}\)
\(III = II \cdot x = \frac{x^{2}}{(1 - x)}\)
\(...\)
\(N = \frac{x^{n-1}}{(1 - x)}\)
Então,
\(I + II + III + ... + N = \frac{1 + x + x^{2} + x^{3} + ... + x^{n-1}}{(1 - x)}\), que pela série telescópica é igual a \(\frac{\frac{1}{(1 - x)}}{(1 - x)} = \frac{1}{(1 - x)^{2}}\)
Gabriel Barbosa de Oliveira
Resolução: Esse somatório é igual a: \(1 + 2x + 3x^{2} + 4x^{3} + ...\)
Considerando:
\(I: 1 + x + x^{2} + x^{3} + ... + \)
\(II: x + x^{2} + x^{3} + x^{4} + ... \)
\(III: x^{2} + x^{3} + x^{4} + x^{5} + ...\)
\(...\)
\(N: x^{n - 1} + x^{n} + ...\)
Temos que o somatório do enunciado é igual a: \(I + II + III + ... + N\)
Mas,
\(I = \frac{1}{(1 - x)}\) (série telescópica)
\(II = I \cdot x = \frac{x}{(1 - x)}\)
\(III = II \cdot x = \frac{x^{2}}{(1 - x)}\)
\(...\)
\(N = \frac{x^{n-1}}{(1 - x)}\)
Então,
\(I + II + III + ... + N = \frac{1 + x + x^{2} + x^{3} + ... + x^{n-1}}{(1 - x)}\), que pela série telescópica é igual a \(\frac{\frac{1}{(1 - x)}}{(1 - x)} = \frac{1}{(1 - x)^{2}}\)
Gabriel Barbosa de Oliveira