[Resolução] 10.14.8
Posted: 26 Aug 2022 15:25
Enunciado: considere a série definida pela seguinte fórmula:
\(f(n) = \sum_{n = 2}^\infty \dfrac{\log n}{n* \sqrt {n+1}}\)
Responda a seguinte questão:
Determine se esta série converge ou diverge e justifique.
Primeiramente, vemos que:
\(\dfrac{\log n}{n* \sqrt {n+1}} \le \dfrac{\log n}{n* \sqrt n} = \dfrac{\log n}{n^\tfrac{3}{2}} = a_n\)
Agora, tomemos uma sequência \(b_n\) definida por \(b_n = \dfrac{n^\tfrac{3}{2}}{n^x}\)
Note que, para \( 0 \lt x \lt \frac{1}{2} , b_n \) converge.
Comparando \(a_n\) e \(b_n\) nos limites, temos:
\(\lim_{n \to \infty} \tfrac{a_n}{b_n} = \dfrac{\log n}{n^\tfrac{3}{2}} * \dfrac{n^\tfrac{3}{2}}{n^x} = \dfrac{\log n}{n^x} = 0\).
Perceba que: \(\lim_{n \to \infty} \dfrac{\log n}{n^x} = 0 \) pois para qualquer \(0 \lt x \lt \frac{1}{2}\), o denominador, independente do valor de x, cresce mais rápido do que função log.
Portanto, se \(b_n\) converge, e \(\frac{a_n}{b_n} \rightarrow 0\), temos que \(b_n \gt a_n\).
Logo, \(a_n\) converge. Por consequência: \(\sum_{n = 2}^\infty \dfrac{\log n}{n* \sqrt {n+1}}\) converge.
\(f(n) = \sum_{n = 2}^\infty \dfrac{\log n}{n* \sqrt {n+1}}\)
Responda a seguinte questão:
Determine se esta série converge ou diverge e justifique.
Primeiramente, vemos que:
\(\dfrac{\log n}{n* \sqrt {n+1}} \le \dfrac{\log n}{n* \sqrt n} = \dfrac{\log n}{n^\tfrac{3}{2}} = a_n\)
Agora, tomemos uma sequência \(b_n\) definida por \(b_n = \dfrac{n^\tfrac{3}{2}}{n^x}\)
Note que, para \( 0 \lt x \lt \frac{1}{2} , b_n \) converge.
Comparando \(a_n\) e \(b_n\) nos limites, temos:
\(\lim_{n \to \infty} \tfrac{a_n}{b_n} = \dfrac{\log n}{n^\tfrac{3}{2}} * \dfrac{n^\tfrac{3}{2}}{n^x} = \dfrac{\log n}{n^x} = 0\).
Perceba que: \(\lim_{n \to \infty} \dfrac{\log n}{n^x} = 0 \) pois para qualquer \(0 \lt x \lt \frac{1}{2}\), o denominador, independente do valor de x, cresce mais rápido do que função log.
Portanto, se \(b_n\) converge, e \(\frac{a_n}{b_n} \rightarrow 0\), temos que \(b_n \gt a_n\).
Logo, \(a_n\) converge. Por consequência: \(\sum_{n = 2}^\infty \dfrac{\log n}{n* \sqrt {n+1}}\) converge.