Tire uma dúvida, deixe uma dúvida

\(f(n)=\dfrac{n^{2/3}\sin(n!)}{n+1}\)

Resolução:

Para verificar se uma sequência converge ou diverge, basta verificar se existe um valor \(L\), tal que:

\(\lim_{n \rightarrow \infty}{f(n)} = L\)

De outra forma:

\(\lim_{n \rightarrow \infty}\dfrac{n^{2/3}\sin(n!)}{n+1} = L\)

O valor de \(\sin(n!)\) oscilará entre -1 e 1 até o infinito, logo não interferirá na convergência ou divergência do limite, pois tal oscilação será desprezível depois de certo ponto (no caso de uma convergência) ou só oscilará os valores que já divergem (no caso de uma divergência). Sendo assim temos que:

\(\lim_{n \rightarrow \infty}\dfrac{n^{2/3}\sin(n!)}{n+1} = \lim_{n \rightarrow \infty}\dfrac{n^{2/3}}{n+1}\)

Ao ir para o infinito, o \(1\) no denomidador da sequência afetará infimamente o valor dela (algo próximo do infinito(\(n\)), mais \(1\) é algo próximo do infinito). Sendo assim, temos que:

\(\lim_{n \rightarrow \infty}\dfrac{n^{2/3}}{n+1} = \lim_{n \rightarrow \infty}\dfrac{n^{2/3}}{n} = \lim_{n \rightarrow \infty}\dfrac{1}{n^{1/3}}\)

É fácil verificar, então, que o limite da sequência é \(L = 0\). E, portanto, a sequência converge para \(0\).

O argumento que você deu sobre a oscilação de \(sin(n!)\) faz sentido, mas talvez seja mais seguro utilizar o teorema do confronto partindo do fato que
\[ \frac{-n^{2/3}}{n + 1} \leq \frac{n^{2/3}\sin(n!)}{n + 1} \leq \frac{n^{2/3}}{n + 1} \]