Exercício IV.7.51
Posted: 22 Dec 2022 17:37
Suponha que, em \(M\), a Hipótese do Contínuo Generalizada valha e que \(\mathbb{P}\) é ccc. Então, em \(M[G]\), \(\vert \mathcal{D} \vert \leq \aleph_2\), para toda família quase disjunta \(\mathcal{D} \subset [\omega_1]^{\aleph_1}\).
Algumas noções preliminares:
Definição: Para os cardinais \(\kappa, \lambda, \sigma, n\), com \(n \in \omega, \kappa \to (\lambda)^n_\sigma\) é uma abreviação para a afirmativa: para todo \(f:[\kappa]^n \to \sigma\), existe um \(Z \in [\kappa]^\lambda\) tal que \(f\) é constante em \([Z]^n\). Dizemos que \(Z\) é homogêneo para a partição \(f\).
Defina \(exp_0(\kappa) = \kappa\) e \(exp_{n+1}(\kappa) = 2^{exp_n(\kappa)}\). Assim,
Teorema (Teorema de Erdos-Rado): Vale que \((exp_n(\kappa))^+ \to (\kappa^+)^{n+1}_\kappa\), para todo \(\kappa\) infinito e todo \(n \in \omega\).
Ideia da Demonstração: Podemos fazer por indução em \(n\). Para o caso \(n=1\), é "simples": \((2^\kappa)^+ \to (\kappa^+)^2_\kappa\). Para isso, \([M]^\kappa \subset M$ e $\vert M \vert = 2^\kappa\). O caso \(n=0\), \(\kappa^+ \to (\kappa^+)^1_\kappa\) é, em essência, o princípio da casa dos pombos, que é verdadeiro pois \(\kappa^+\) é regular. A ideia geral da indução é escolher um conjunto "grande" \(\{i_\xi: \xi< \cdots \}\), em que \(f\) é aplicado em uma \((n+1)\)-upla que depende apenas dos \(n\) primeiros elementos da upla.
O GCH (Hipótese Generalizada do Contínuo) é uma generalização da Hipótese do Contínuo, proposta por Cantor, em que não existe nenhum conjunto com cardinalidade maior do que a dos inteiros e menor do que a dos reais, simultaneamente. A Generalizada propõe que \(2^{\aleph_\alpha} = \aleph_{\alpha + 1}\), para todo ordinal \(\alpha\).
Resolvendo o Exercício: Comecemos dizendo que \(p\) força que \(\dot{E}\), subconjunto de \(\omega_3 \times \omega_1\) tal que, para todo \(\alpha < \omega_3\), os conjuntos \(\dot{E}_\alpha := \{ \xi < \omega_1: (\alpha, \xi) \in \dot{E} \}\) são não enumeráveis e dois a dois quase disjuntos.
Então, existe, em \(M\), uma função \(f: [\omega_3]^2 \to \omega_1\) de modo que, para todo \(\alpha < \beta < \omega_3\), \(p \Vdash \dot{E}_\alpha \cap \dot{E}_\beta \subset f(\alpha, \beta)\). E é aqui, no "\(p\) força", que a condição ccc é usada.
Veja que \(\aleph_3 > 2^{\aleph_1}\) em \(M\), pelo GCH, dado que \(2^{\aleph_1} = \aleph_2\). Vamos usar o Teorema de Erdos-Rado em \(M\). Assim, temos que as famílias de quase disjuntos satisfazem \(\vert \mathcal{D} \vert \leq \aleph_2\).
Algumas noções preliminares:
Definição: Para os cardinais \(\kappa, \lambda, \sigma, n\), com \(n \in \omega, \kappa \to (\lambda)^n_\sigma\) é uma abreviação para a afirmativa: para todo \(f:[\kappa]^n \to \sigma\), existe um \(Z \in [\kappa]^\lambda\) tal que \(f\) é constante em \([Z]^n\). Dizemos que \(Z\) é homogêneo para a partição \(f\).
Defina \(exp_0(\kappa) = \kappa\) e \(exp_{n+1}(\kappa) = 2^{exp_n(\kappa)}\). Assim,
Teorema (Teorema de Erdos-Rado): Vale que \((exp_n(\kappa))^+ \to (\kappa^+)^{n+1}_\kappa\), para todo \(\kappa\) infinito e todo \(n \in \omega\).
Ideia da Demonstração: Podemos fazer por indução em \(n\). Para o caso \(n=1\), é "simples": \((2^\kappa)^+ \to (\kappa^+)^2_\kappa\). Para isso, \([M]^\kappa \subset M$ e $\vert M \vert = 2^\kappa\). O caso \(n=0\), \(\kappa^+ \to (\kappa^+)^1_\kappa\) é, em essência, o princípio da casa dos pombos, que é verdadeiro pois \(\kappa^+\) é regular. A ideia geral da indução é escolher um conjunto "grande" \(\{i_\xi: \xi< \cdots \}\), em que \(f\) é aplicado em uma \((n+1)\)-upla que depende apenas dos \(n\) primeiros elementos da upla.
O GCH (Hipótese Generalizada do Contínuo) é uma generalização da Hipótese do Contínuo, proposta por Cantor, em que não existe nenhum conjunto com cardinalidade maior do que a dos inteiros e menor do que a dos reais, simultaneamente. A Generalizada propõe que \(2^{\aleph_\alpha} = \aleph_{\alpha + 1}\), para todo ordinal \(\alpha\).
Resolvendo o Exercício: Comecemos dizendo que \(p\) força que \(\dot{E}\), subconjunto de \(\omega_3 \times \omega_1\) tal que, para todo \(\alpha < \omega_3\), os conjuntos \(\dot{E}_\alpha := \{ \xi < \omega_1: (\alpha, \xi) \in \dot{E} \}\) são não enumeráveis e dois a dois quase disjuntos.
Então, existe, em \(M\), uma função \(f: [\omega_3]^2 \to \omega_1\) de modo que, para todo \(\alpha < \beta < \omega_3\), \(p \Vdash \dot{E}_\alpha \cap \dot{E}_\beta \subset f(\alpha, \beta)\). E é aqui, no "\(p\) força", que a condição ccc é usada.
Veja que \(\aleph_3 > 2^{\aleph_1}\) em \(M\), pelo GCH, dado que \(2^{\aleph_1} = \aleph_2\). Vamos usar o Teorema de Erdos-Rado em \(M\). Assim, temos que as famílias de quase disjuntos satisfazem \(\vert \mathcal{D} \vert \leq \aleph_2\).