[Resolução] 11.7.13
Posted: 07 Dec 2022 23:58
Enunciado
Determine o raio de convergência r da série de potência:
\(\sum_{n=0}^{\infty}(sen(an))z^n \quad\quad a>0\)
Teste a convergência nos pontos de fronteira se r for finito.
Resolução :
\(Se |z| \geq 1: \\
\lim_{n \to \infty} (\sin (an))z^n \neq 0 ,\) a não ser que \( a = k \pi. \)
Dessa forma, a série não converge para \( a \neq k \pi ,se |z| \geq 1.\)
\(Se |z| < 1 : \\ \\ \)
Aplicamos o teste de Dirichlet, onde
\[ \sum_{n=1}^N | \sin (an) | \]
é limitado para qualquer N (as somas parciais são limitadas) e os termos \(z^n\) são monoliticamente decrescentes com \(\lim_{n \to \infty} z^n = 0. \\\) Portanto, a série converge para \(|z| < 1\), que implica \( r = 1\) se a \( \neq k \pi.\)
Se \( a = k \pi \) , então \( \sin (an) = 0 \) para todo n, então a série converge para todo z, que implica \( r = +\infty. \)
Determine o raio de convergência r da série de potência:
\(\sum_{n=0}^{\infty}(sen(an))z^n \quad\quad a>0\)
Teste a convergência nos pontos de fronteira se r for finito.
Resolução :
\(Se |z| \geq 1: \\
\lim_{n \to \infty} (\sin (an))z^n \neq 0 ,\) a não ser que \( a = k \pi. \)
Dessa forma, a série não converge para \( a \neq k \pi ,se |z| \geq 1.\)
\(Se |z| < 1 : \\ \\ \)
Aplicamos o teste de Dirichlet, onde
\[ \sum_{n=1}^N | \sin (an) | \]
é limitado para qualquer N (as somas parciais são limitadas) e os termos \(z^n\) são monoliticamente decrescentes com \(\lim_{n \to \infty} z^n = 0. \\\) Portanto, a série converge para \(|z| < 1\), que implica \( r = 1\) se a \( \neq k \pi.\)
Se \( a = k \pi \) , então \( \sin (an) = 0 \) para todo n, então a série converge para todo z, que implica \( r = +\infty. \)