Seja a função \(2\pi\) periódica tal que\(f(x) =
\begin{cases}
1, se\,x \in\,[0,\,\pi].\\
-1, se\,x \in\,]-\pi,\,0[.\\
\end{cases}\) use sua série de Fourier para mostrar que
\(\sum_{n=1}^\infty\ \frac{1}{(2n - 1)^2} = \frac{\pi^2}{8}\)
podemos encontrar a solução utilizando a identidade de Parseval, como a função é ímpar, temos:
\(a_0 = 0\\
a_n = 0\\
b_n = \frac{2((-1)^{n+1}+ 1)}{\pi n} = \begin{cases}
\frac{4}{\pi n}, \text{n é ímpar.}\\
0, \text{n é par.}\\
\end{cases}, \text{ assumir apenas os valores impares, }b_k = \frac{4}{(2k - 1)\pi} \)
pela identidade obtemos:
\(\frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^{\pi} f(x)^2 \,dx = 0 + \sum_{n=1}^\infty (0 + b_n^2)\)
\(f(x)^2 = 1\)
\(\frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^{\pi} f(x)^2 \,dx = \frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^{\pi} 1 \,dx = 2 \)
\(b_k ^2 = \frac{16}{\pi^2(2k - 1)^2} \)
\(2 = \sum_{k=1}^\infty \frac{16}{\pi^2(2k - 1)^2} \)
\(2 = \frac{16}{\pi^2}\sum_{k=1}^\infty \frac{1}{(2k - 1)^2} \)
\( \frac{2\pi^2}{16} = \sum_{k=1}^\infty \frac{1}{(2k - 1)^2} \)
\( \frac{\pi^2}{8} = \sum_{k=1}^\infty \frac{1}{(2k - 1)^2} \)