Calcule a série de Fourier para a seguinte função:
$$
f(x) = \begin{cases}
\sin x, &\text{ se x } \in [-\pi, 0] \\
0, &\text{ se x } \in [0, \pi] \\
\end{cases}
$$
Ao analisar a função, podemos observar que não é nem par, nem ímpar, logo podemos esperar que contenha parcelas tanto de senos, quanto cossenos.
Começaremos calculando o coeficiente \(a_0\).
$$
a_0 = \frac{1}{\pi} \left(
\int_{-\pi}^{0} \sin x \, dx
+
\int_{0}^{\pi} 0 \, dx
\right) = \frac{1}{\pi} \cdot \left[(-\cos 0) - (-\cos (-\pi))\right] = \frac{-2}{\pi}
$$
Agora, calculando os coeficientes \(a_n\):
$$
a_n = \frac{1}{\pi} \left(
\int_{-\pi}^{0} \sin x \cdot \cos (nx) \, dx
+
\int_{0}^{\pi} 0 \, dx
\right) = \frac{1}{\pi} \cdot \frac{\cos(\pi n) + 1}{n^2 - 1}
$$
Calculando os coeficientes \(b_n\), teremos:
$$
b_n = \frac{1}{\pi} \left(
\int_{-\pi}^{0} \sin x \cdot \sin (nx) \, dx
+
\int_{0}^{\pi} 0 \, dx
\right) = \frac{1}{\pi} \cdot \frac{-\sin(\pi n)}{n^2 - 1}
$$
Sendo assim, teremos a seguinte série de Fourier:
$$
S_f(x) = -\frac{1}{\pi} + \sum_{n=1}^{\infty} \left( \frac{\cos(\pi n) + 1}{\pi (n^2 - 1)} \cos(nx) - \frac{\sin(\pi n)}{\pi (n^2 - 1)}\sin(nx)\right)
$$