Determine o raio de convergência \(r\) da série:
$$
\sum_{n=1}^{\infty} \left( \frac{1 \cdot 3 \cdot 5 \cdots (2n - 1)}{2 \cdot 4 \cdot 6 \cdots (2n)} \right)^{3} z^{n}
$$
Aplicando o teste da razão para convergência, teremos:
$$
\lim_{n \to \infty} \frac{|a_{n+1}|}{|a_n|} = \lim_{n \to \infty} \frac
{\left( \frac{1 \cdot 3 \cdot 5 \cdots (2n - 1) \cdot (2n + 1)}{2 \cdot 4 \cdot 6 \cdots (2n) \cdot (2n + 2)} \right)^{3} |z|^{n+1}}
{\left( \frac{1 \cdot 3 \cdot 5 \cdots (2n - 1)}{2 \cdot 4 \cdot 6 \cdots (2n)} \right)^{3} |z|^{n}}
$$
Simplificando a fração, sobrará:
$$
\lim_{n \to \infty} \left(\frac{2n + 1}{2n + 2}\right)^3 \cdot \frac{|z|^{n+1}}{|z|^{n}} = 1 \cdot |z| = |z|
$$
Sendo assim, pela condição de convergência absoluta do teste da razão, teremos convergência quando \(|z| < 1\), ou seja, temos raio de convergência \(r = 1\).