ENUNCIADO:
Considere a série:
\(\sum_{n=1}^{\infty} (-1)^n \arctan \frac{1}{2n+1}.\)
Determine se a série converge ou diverge. Se convergir, determine se converge condicionalmente ou absolutamente.
SOLUÇÃO:
Podemos ver que a série converge pela regra de Leibniz,
\(\lim_{n \to \infty} \arctan \frac{1}{2n+1} = 0.\)
Pois, \( \lim_{ x \to 0} \arctan x = 0\). Além disso, \( \arctan \frac{1}{2n+1}\) é decrescente, pois
\(\left( \arctan \frac{1}{2x+1} \right)' = \frac{1}{1 + \left( \frac{1}{2x+1} \right)^2} = \frac{-1}{1+2x + 2x^2} = \frac{-1}{(1+x)^2 + x^2}\)
é sempre negativo.
Então, podemos ver que a convergência é condicional, pois
\(\sum_{n=1}^{\infty} \left| (-1)^n\arctan \left( \frac{1}{2n+1} \right) \right| = \sum_{n=1}^{\infty} \arctan \left( \frac{1}{2n+1} \right).\)
Usando o teste de comparação no limite com a série \(\sum \frac{1}{2n}\). Nós temos
\(\begin{align*} \lim_{n \to \infty} \frac{a_n}{b_n} &= \lim_{n \to \infty} \frac{\arctan \left(\frac{1}{2n+1} \right)}{\frac{1}{2n}} \\[9pt] &= \lim_{n \to \infty} \frac{ \frac{-1}{2n^2+2n+1}}{\frac{-1}{2n^2}} &(\text{L'Hopital's}) \\[9pt] &= \lim_{n \to \infty} \frac{2n^2}{2n^2+2n+1} \\[9pt] &= 1. \end{align*}\)
Pelo teste de comparação no limite, sabemos que as duas séries convergem ou divergem. Como \(\sum \frac{1}{2n} \)diverge, temos que
\(\sum_{n =1}^{\infty} \arctan \left( \frac{1}{2n+1} \right)\)
diverge também. Portanto, a convergência da série em questão é condicional.