[Resolução] 11.13.16
Posted: 07 Dec 2022 20:00
Assuma que \(\sin^3 x\) tem uma representação em série de potências em termos de potências de x, verifique se tem a forma
\(\sin^3 x = \sum_{n = 1}^{\infty}(-1)^{n+1} \frac{3^{2n} - 1}{(2n + 1)!} x^{2n + 1}\) para todo \(x \in \mathbb{R} \)
Primeiro, lembramos a identidade do ângulo triplo para o seno,
\(\sin{(3x)} = 3 \sin x - 4 \sin^3 x \Rightarrow \sin^3 x = \frac{3}{4}\sin x - \frac{1}{4} \sin{(3x)}\)
Como sabemos que a expansão para \(\sin x\) é
\(\sin x = \sum^{\infty}_{n = 1} \frac{(-1)^{n+1}}{(2n - 1)!}x^{2n-1}\)
Então, nós temos
\( \sin^3 x = \frac{3}{4}\sin x - \frac{1}{4} \sin{(3x)}\)
\(= \frac{3}{4}(\sum^{\infty}_{n = 1} \frac{(-1)^{n+1}}{(2n - 1)!}x^{2n-1}) - \frac{1}{4}(\sum^{\infty}_{n = 1} \frac{(-1)^{n+1}}{(2n - 1)!}(3x)^{2n-1}) \)
\(= \frac{3}{4}(\sum^{\infty}_{n = 1} (\frac{(-1)^{n+1}}{(2n - 1)!}x^{2n-1})) - \frac{3}{4}(\sum^{\infty}_{n = 1} \frac{(-1)^{n+1}}{(2n - 1)!}3^{2n-2} x^{2n-1}) \)
\(= \frac{3}{4}\sum^{\infty}_{n = 1}(\frac{x^{2n-1}}{(2n - 1)!} \dot ((-1)^{n+1} - (-1)^{n+1}3^{n-2}))\)
\(= \frac{3}{4}\sum^{\infty}_{n = 1}\frac{x^{2n-1}}{(2n - 1)!}(-1)^{n+1}(1-3^{2n-2})\)
\(= \frac{3}{4}\sum^{\infty}_{n = 1}\frac{x^{2n-1}}{(2n - 1)!}(-1)^{n}(3^{2n-2}-1)\)
\(= \frac{3}{4}\sum^{\infty}_{n = 2}\frac{x^{2n-1}}{(2n - 1)!}(-1)^{n}(3^{2n-2}-1)\)
\(= \frac{3}{4}\sum^{\infty}_{n = 1}(-1)^{n+1}\frac{3^{2n} - 1}{(2n + 1)!}x^{2n+1}\)
Nas duas últimas etapas, movemos a soma de \(n=1\) até o infinito para \(n=2\) até o infinito, pois o termo \(n=1\) era 0 e, na etapa final, reindexamos a soma. Esta foi a identidade solicitada.
\(\sin^3 x = \sum_{n = 1}^{\infty}(-1)^{n+1} \frac{3^{2n} - 1}{(2n + 1)!} x^{2n + 1}\) para todo \(x \in \mathbb{R} \)
Primeiro, lembramos a identidade do ângulo triplo para o seno,
\(\sin{(3x)} = 3 \sin x - 4 \sin^3 x \Rightarrow \sin^3 x = \frac{3}{4}\sin x - \frac{1}{4} \sin{(3x)}\)
Como sabemos que a expansão para \(\sin x\) é
\(\sin x = \sum^{\infty}_{n = 1} \frac{(-1)^{n+1}}{(2n - 1)!}x^{2n-1}\)
Então, nós temos
\( \sin^3 x = \frac{3}{4}\sin x - \frac{1}{4} \sin{(3x)}\)
\(= \frac{3}{4}(\sum^{\infty}_{n = 1} \frac{(-1)^{n+1}}{(2n - 1)!}x^{2n-1}) - \frac{1}{4}(\sum^{\infty}_{n = 1} \frac{(-1)^{n+1}}{(2n - 1)!}(3x)^{2n-1}) \)
\(= \frac{3}{4}(\sum^{\infty}_{n = 1} (\frac{(-1)^{n+1}}{(2n - 1)!}x^{2n-1})) - \frac{3}{4}(\sum^{\infty}_{n = 1} \frac{(-1)^{n+1}}{(2n - 1)!}3^{2n-2} x^{2n-1}) \)
\(= \frac{3}{4}\sum^{\infty}_{n = 1}(\frac{x^{2n-1}}{(2n - 1)!} \dot ((-1)^{n+1} - (-1)^{n+1}3^{n-2}))\)
\(= \frac{3}{4}\sum^{\infty}_{n = 1}\frac{x^{2n-1}}{(2n - 1)!}(-1)^{n+1}(1-3^{2n-2})\)
\(= \frac{3}{4}\sum^{\infty}_{n = 1}\frac{x^{2n-1}}{(2n - 1)!}(-1)^{n}(3^{2n-2}-1)\)
\(= \frac{3}{4}\sum^{\infty}_{n = 2}\frac{x^{2n-1}}{(2n - 1)!}(-1)^{n}(3^{2n-2}-1)\)
\(= \frac{3}{4}\sum^{\infty}_{n = 1}(-1)^{n+1}\frac{3^{2n} - 1}{(2n + 1)!}x^{2n+1}\)
Nas duas últimas etapas, movemos a soma de \(n=1\) até o infinito para \(n=2\) até o infinito, pois o termo \(n=1\) era 0 e, na etapa final, reindexamos a soma. Esta foi a identidade solicitada.