Considere duas sequências \( a_n \) e \( b_n \) cujos termos são sempre positivos após algum inteiro N (ou seja, \(a_n > 0\) e \(b_n > 0\) para todo \(n \geq N\)). Então defina:
\(c_n = b_n - \frac{b_n + 1a_n +1}{a_n}\)
b) Se a série \(\sum \frac{1}{b_n}\) diverge e se \( c_n \leq 0\) para todo \(n \geq 0\) então a série \(\sum a_n\) diverge.
Prova. Recebemos \(c_n \leq 0\), o que implica:
\( b_n - \frac{b_n + 1a_n +1}{a_n} \leq 0 \Longrightarrow b_n \leq \frac{b_n + 1a_n +1}{a_n}\)
Isso implica que:
\(b_na_n \leq b_{n+1}a_{n+1}\)
\(\Longrightarrow \frac{a_n}{\frac{1}{b_n}} \leq \frac{a_{n+1}}{\frac{1}{b_{n+1}}} \) para todo \(n \geq N\)
\(\Longrightarrow \frac{a_N}{\frac{1}{b_N}} \leq \frac{a_{n}}{\frac{1}{b_{n}}}\) [/latex] para todo \(n \geq N\)
\(\Longrightarrow (\frac{1}{b_N})(\frac{a_N}{\frac{1}{b_N}}) \leq a_n\) para todo \(n \geq N\)
\(\Longrightarrow \sum a_N \geq (\frac{a_N}{\frac{1}{b_N}}) \sum (\frac{1}{b_n})\)
Como \(\frac{a_N}{\frac{1}{b_N}}\) é uma constante, isso implica que se \(\sum \frac{1}{b_n}\) diverge, \(\sum a_n\) também diverge.