[Resolução] 11.13.10
Posted: 07 Dec 2022 17:15
Determine o conjunto de valores reais de \(x\) para que a série abaixo convirja. Então, compute a soma da série.
\(\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(x-1)^n}{(n+2)!}\)
Primeiro, aplicamos o teste da razão para definir para quais valores de \(x\) a série converge.
\(\lim_{n\to\infty} \left| \frac{a_{n+1}}{a_{n}} \right| = \lim_{n\to\infty} \left( \frac{|x-1|^{n+1}}{(n + 3)!} \right) \left( \frac{(n+2)!}{|x-1|^n} \right) = \lim_{n\to\infty} \frac{|x - 1|}{n + 3} = 0\)
Portanto, a série é absolutamente convergente para todo \(x\).
Agora, vamos calcular o valor da série.
Quando \(x = -1\), o que resulta na série \(\sum_{n=0}^{\infty}\frac{0^n}{(n+2)!}\), podemos perceber que o único termo da série que será diferente de 0 será o primeiro (\(\frac{1}{2}\)). Portanto, para \(x = -1\), o valor da série será \(\frac{1}{2}\).
Agora, vamos calcular o valor da série para \(x \neq -1\).
Relembrando a série:
\(\(\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(x-1)^n}{(n+2)!}\)\)
Definimos \(n\) para inicar com 2 para nos livrarmos do \((n + 2)!\) no quociente:
\(\sum_{n=2}^{\infty}\frac{(x-1)^{n-2}}{n!}\)
Retiramos o \(-2\) do expoente para simplificar:
\(\frac{1}{(x-1)^2}\left( \sum_{n=2}^{\infty}\frac{(x-1)^{n}}{n!} \right)\)
Definimos \(n\) para iniciar em 0 novamente, subtraindo os primeiros dois termos manualmente:
\(\frac{1}{(x-1)^2}\left( \sum_{n=0}^{\infty}\frac{(x-1)^{n}}{n!} - 1 - x + 1 \right)\)
Cortamos o -1 com o 1:
\(\frac{1}{(x-1)^2}\left( \sum_{n=0}^{\infty}\frac{(x-1)^{n}}{n!} - x \right)\)
Já foi discutido anteriormente que a série \(\sum_{n=0}^{\infty}\frac{x^{n}}{n!}\) é equivalente a expressão \(e^x\). Dessa forma, conseguimos utilizar essa relação para encontrar uma expressão equivalente a série:
\(\frac{1}{(x-1)^2}\left(e^{x-1} - x \right)\)
Chegando então ao fim da questão!
