Enunciado:
Seja \(f(x) = \sum_{n = 0}^\infty a_n x^n \), onde os coeficientes \( a_n\) são determinados pela relação
\(cos x = \sum_{n=0}^\infty a_n(n + 2) x^n \)
Calcule \(a_5, a_6, f(\pi) \).
Resolução:
Primeiramente, podemos escrever \(cos x \) por meio de um polinômio de Taylor:
\(cos x = 1 + \frac{0}{1!}x + \frac{(-1)}{2!}x^2 + \frac{0}{3!}x^3 + \frac{1}{4!}x^4 + ... = \sum_{n = 0}^{\infty} \frac{(-1)^n}{(2n)!}x^{2n} \)
Com isso, podemos compará-lo com \(cos x = \sum_{n=0}^\infty a_n(n + 2) x^n \).
\(cos x = \sum_{n=0}^\infty a_n(n + 2) x^n = \sum_{n = 0}^{\infty} \frac{(-1)^n}{(2n)!}x^{2n} \)
\( (2a_0)x^0 + (3a_1)x + (4a_2)x^2 + (5a_3)x^3 + (6a_4)x^4 + ... = 1 + \frac{0}{1!}x + \frac{(-1)}{2!}x^2 + \frac{0}{3!}x^3 + \frac{1}{4!}x^4 + ... \)
Podemos notar que, para termos ímpares (\( a_{2n+1} \)), \(a_n = 0\) e que para termos pares (\( a_{2n} \)), temos a seguinte relação:
\( a_{2n}(2n + 2) x^{2n} = \frac{(-1)^n}{(2n)!}x^{2n} <=> a_{2n} = \frac{(-1)^n}{(2n+2) \cdot (2n)!} \)
Portanto, temos que:
\( a_5 = 0 \)
\(a_6 = a_{2 \cdot 3} = \frac{(-1)^3}{(2 \cdot 3+2) \cdot (2 \cdot 3)!} = \frac{-1}{8 \cdot 6!} = \frac{-1 \cdot 7}{8 \cdot 7 \cdot 6!} = -\frac{7}{8!} \)
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Para calcular \(f(\pi) \), iremos calcular \(f(0) \) e reescrever \( cos(x)\):
$$ f(0) = \sum_{n = 0}^\infty a_n 0^n = a_0 = a_{2 \cdot 0} = \frac{(-1)^0}{(2\cdot 0 +2) \cdot (2 \cdot 0)!} = \frac{1}{2} $$
$$ cos x = \sum_{n=0}^\infty a_n(n + 2) x^n = x \cdot \sum_{n=0}^\infty n \cdot a_n \cdot x^{n-1} + 2 \cdot \sum_{n=0}^\infty a_n \cdot x^n $$
É possível notar que a expressão pode ser expressa como:
$$ cos x = x \cdot f'(x) + 2 \cdot f(x) <=> f'(x) + \frac{2}{x} f(x) = \frac{cosx}{x}$$
Com isso, \( P(x) = \frac{2}{x} \) e \( Q(x) = \frac{cosx}{x} \)
$$ I(x) = e^{\int P(x)dx} = e^{\int \frac{2}{x} dx} = x^2 $$
$$ f(x) = \frac{1}{I(x)} \left[ \int I(x) Q(x) dx + C \right] $$
$$ f(x) = \frac{1}{x^2} \left[ \int x^2 \cdot \frac{cosx}{x} dx + C \right] $$
$$ f(x) = \frac{1}{x^2} \left[ xsinx + cosx + C \right] $$
$$ f(x) = \frac{sinx}{x} + \frac{cosx + C}{x^2} $$
Sabemos que \(f(0) = \frac{1}{2} \), logo:
$$ f(x) = \frac{sinx}{x} + \frac{cosx - 1}{x^2} $$
Consequentemente:
$$ f(\pi) = \frac{sin(\pi)}{\pi} + \frac{cos(\pi) - 1}{\pi^2} = \frac{-2}{\pi^2}$$
Portanto:
$$ a_5 = 0 ; a_6 = -\frac{7}{8!} ; f(\pi) = -\frac{2}{\pi^2} $$