[Resolução] 11.13.20
Posted: 07 Dec 2022 15:04
Assumindo que \(\frac{1}{x^2+x+1}\) tenha uma representação em série de potências em termos de \(x\), verifique se essa tem a forma
$$
\frac{1}{x^2+x+1} = \frac{2}{\sqrt{3}} \sum_{n=0}^{\infty} \sin \left(\frac{2 \pi (n+1)}{3}\right)x^n \
$$
Válida para todo real \(x\) tal que \(|x| < 1\)
Dica: \(x^3 - 1 = (x - 1)(x^2 + x + 1)\)
Primeiro vamos usar a dica para modificar a representação da série, podemos escrever:
$$
\begin{align*}
\frac{1}{x^2+x+1} &= \frac{x-1}{x^3-1} \\[9pt]
&= \frac{1-x}{1-x^3} \\[9pt]
&= (1-x) \cdot \left( \frac{1}{1-x^3} \right).
\end{align*}
$$
Dessa maneira podemos reescrever o segundo termo da multiplicação usando séries geométricas onde:
$$
\frac{1}{1-x^3} = \sum_{n=0}^{\infty} (x)^{3n}.
$$
Então:
$$
\begin{align*}
\frac{1}{x^2 + x + 1} &= (1 - x) \cdot \sum_{n=0}^{\infty} (x)^{3n} \\
&= \sum_{n=0}^{\infty} (x)^{3n} + \sum_{n=0}^{\infty} (x)^{3n + 1}
\end{align*}
$$
Podemos observar que \(x^{3n}\), \(-x^{3n+1}\) e \(0\) aparecem em uma sequências de 3 termos, onde queremos a sequência \(1, -1, 0, \ldots\)
Devido a essa comportamento da função podemos perceber que se trata de uma função de uma senoide. Então vamos manipular as somas acima afim de obter esse resultado
$$
\frac{1}{x^2 + x + 1} = \frac{2}{\sqrt{3}} \sum_{n=0}^{\infty} \frac{\sqrt{3}}{2} (x)^{3n} + \frac{2}{\sqrt{3}} \sum_{n=0}^{\infty} -\frac{\sqrt{3}}{2} (x)^{3n + 1} + \frac{2}{\sqrt{3}} \sum_{n=0}^{\infty} 0 (x)^{3n + 2}
$$
Sabemos que \(\frac{\sqrt{3}}{2}\) é o valor de \(\sin(60°)\). Por termos 3 termos dividiremos \(\frac{360°}{3} = 120°\), como estaremos andando pelos valores da função seno de \(120°\) em \(120°\), vamos facilitar se utilizando desse valor em radianos \(120° = \frac{2\pi}{3}\), teremos então como valores da sequência:
$$
\sin(\frac{2\pi}{3}), \ \sin(\frac{4\pi}{3}), \ \sin(\frac{6\pi}{3}) = \sin(2\pi), \ \ldots
$$
Com isso podemos escrever uma lei de formulação geral da série, sendo ela:
$$
\frac{2}{\sqrt{3}}\sin\frac{2\pi(n+1)}{3}
$$
Com isso podemos mostrar que:
$$
\frac{1}{x^2 + x + 1} = \frac{2}{\sqrt{3}} \sum_{n=0}^{\infty} \sin\frac{2\pi(n+1)}{3} x^n \ \blacksquare
$$
$$
\frac{1}{x^2+x+1} = \frac{2}{\sqrt{3}} \sum_{n=0}^{\infty} \sin \left(\frac{2 \pi (n+1)}{3}\right)x^n \
$$
Válida para todo real \(x\) tal que \(|x| < 1\)
Dica: \(x^3 - 1 = (x - 1)(x^2 + x + 1)\)
Primeiro vamos usar a dica para modificar a representação da série, podemos escrever:
$$
\begin{align*}
\frac{1}{x^2+x+1} &= \frac{x-1}{x^3-1} \\[9pt]
&= \frac{1-x}{1-x^3} \\[9pt]
&= (1-x) \cdot \left( \frac{1}{1-x^3} \right).
\end{align*}
$$
Dessa maneira podemos reescrever o segundo termo da multiplicação usando séries geométricas onde:
$$
\frac{1}{1-x^3} = \sum_{n=0}^{\infty} (x)^{3n}.
$$
Então:
$$
\begin{align*}
\frac{1}{x^2 + x + 1} &= (1 - x) \cdot \sum_{n=0}^{\infty} (x)^{3n} \\
&= \sum_{n=0}^{\infty} (x)^{3n} + \sum_{n=0}^{\infty} (x)^{3n + 1}
\end{align*}
$$
Podemos observar que \(x^{3n}\), \(-x^{3n+1}\) e \(0\) aparecem em uma sequências de 3 termos, onde queremos a sequência \(1, -1, 0, \ldots\)
Devido a essa comportamento da função podemos perceber que se trata de uma função de uma senoide. Então vamos manipular as somas acima afim de obter esse resultado
$$
\frac{1}{x^2 + x + 1} = \frac{2}{\sqrt{3}} \sum_{n=0}^{\infty} \frac{\sqrt{3}}{2} (x)^{3n} + \frac{2}{\sqrt{3}} \sum_{n=0}^{\infty} -\frac{\sqrt{3}}{2} (x)^{3n + 1} + \frac{2}{\sqrt{3}} \sum_{n=0}^{\infty} 0 (x)^{3n + 2}
$$
Sabemos que \(\frac{\sqrt{3}}{2}\) é o valor de \(\sin(60°)\). Por termos 3 termos dividiremos \(\frac{360°}{3} = 120°\), como estaremos andando pelos valores da função seno de \(120°\) em \(120°\), vamos facilitar se utilizando desse valor em radianos \(120° = \frac{2\pi}{3}\), teremos então como valores da sequência:
$$
\sin(\frac{2\pi}{3}), \ \sin(\frac{4\pi}{3}), \ \sin(\frac{6\pi}{3}) = \sin(2\pi), \ \ldots
$$
Com isso podemos escrever uma lei de formulação geral da série, sendo ela:
$$
\frac{2}{\sqrt{3}}\sin\frac{2\pi(n+1)}{3}
$$
Com isso podemos mostrar que:
$$
\frac{1}{x^2 + x + 1} = \frac{2}{\sqrt{3}} \sum_{n=0}^{\infty} \sin\frac{2\pi(n+1)}{3} x^n \ \blacksquare
$$