[Resolução] III.6.1.d
Posted: 07 Dec 2022 14:57
Verifique se a função \(f(x) = sen(x^2 + 1)\) são pares ou ímpares ou não são nem pares nem ímpares:
Primeiro precisamos da definição do que é uma função par e do que é uma função ímpar, sabemos que em uma função par \(f(x) = f(-x)\) e que em uma função ímpar \(-f(x) = f(-x)\).
Vamos então resolver a \(f(x)\) e descobrir quais são as raízes quando \(f(x) = 0\), temos:
$$
sen(x^2 + 1) = 0
$$
Os únicos pontos na função seno onde temos resultado 0 são em múltiplos de \(\pi\), ou seja, podemos dizer que:
$$
x^2 + 1 = n\pi \\
x^2 = n\pi - 1 \\
x = \pm \sqrt{n\pi - 1}
$$
Teremos então dois pontos onde \(f(x) = 0\), os quais são \((\sqrt{n\pi - 1}, 0)\) e \((-\sqrt{n\pi - 1}, 0)\).
Com isso podemos afirmar que \(f(x) = f(-x)\), sendo essa a definição da função par.
Primeiro precisamos da definição do que é uma função par e do que é uma função ímpar, sabemos que em uma função par \(f(x) = f(-x)\) e que em uma função ímpar \(-f(x) = f(-x)\).
Vamos então resolver a \(f(x)\) e descobrir quais são as raízes quando \(f(x) = 0\), temos:
$$
sen(x^2 + 1) = 0
$$
Os únicos pontos na função seno onde temos resultado 0 são em múltiplos de \(\pi\), ou seja, podemos dizer que:
$$
x^2 + 1 = n\pi \\
x^2 = n\pi - 1 \\
x = \pm \sqrt{n\pi - 1}
$$
Teremos então dois pontos onde \(f(x) = 0\), os quais são \((\sqrt{n\pi - 1}, 0)\) e \((-\sqrt{n\pi - 1}, 0)\).
Com isso podemos afirmar que \(f(x) = f(-x)\), sendo essa a definição da função par.