[Resolução] III.6.3b
Posted: 06 Dec 2022 18:54
Verifique se a função abaixo é contínua por pedaços e se for, calcule \(\int_{-1}^{1}f(x)dx\) para
\(f(x) = 1 - x - x|x| + x^2 +4x^3 - x^7 + 3x^{11} + x^{19}\)
A função \(f(x)\) é um polinômio nos dois casos a se considerar: \(x \geq 0\) e \(x < 0\). Assim, a função será dada por:
\(\begin{cases}{
1 - x + 2x^2 +4x^3 - x^7 + 3x^{11} + x^{19}, \text{para } x < 0 \\
1 - x + 4x^3 - x^7 + 3x^{11} + x^{19}, \text{para } x \geq 0
}\end{cases}\)
Dessa forma, é possível concluir que a função está definida para toda a reta real.
Note que, como trata-se de uma soma de polinômios, a integral da soma dos termos é igual às somas das integrais de cada termo. Além disso, os termos \(-x\), \(-x|x|\), \(4x^3\), \(-x^7\), \(3x^{11}\) e \(x^{19}\) da \(f(x)\) original são ímpares. Logo, quando integrados em intervalos simétricos resultam em 0. Portanto, integrando os termos restantes, temos:
\( \int_{-1}^1 1+x^2 dx = 2 + \frac{2}{3} = \frac{8}{3}\)
\(f(x) = 1 - x - x|x| + x^2 +4x^3 - x^7 + 3x^{11} + x^{19}\)
A função \(f(x)\) é um polinômio nos dois casos a se considerar: \(x \geq 0\) e \(x < 0\). Assim, a função será dada por:
\(\begin{cases}{
1 - x + 2x^2 +4x^3 - x^7 + 3x^{11} + x^{19}, \text{para } x < 0 \\
1 - x + 4x^3 - x^7 + 3x^{11} + x^{19}, \text{para } x \geq 0
}\end{cases}\)
Dessa forma, é possível concluir que a função está definida para toda a reta real.
Note que, como trata-se de uma soma de polinômios, a integral da soma dos termos é igual às somas das integrais de cada termo. Além disso, os termos \(-x\), \(-x|x|\), \(4x^3\), \(-x^7\), \(3x^{11}\) e \(x^{19}\) da \(f(x)\) original são ímpares. Logo, quando integrados em intervalos simétricos resultam em 0. Portanto, integrando os termos restantes, temos:
\( \int_{-1}^1 1+x^2 dx = 2 + \frac{2}{3} = \frac{8}{3}\)