Enunciado
Determine o conjunto dos reais x para os quais a série converge e determine a soma das séries.
\(\sum_{n = 0}^\infty (-2)^n \frac{n + 2}{n + 1} x^n\)
Resolução
Aplicando o teste da razão:
\(\lim_{n \to \infty} \frac{a_{n + 1}}{a_n} = \lim_{n \to \infty} (\frac{(-2)^{n + 1} (n + 3) x^{n+1}}{n + 2}) (\frac{n + 1}{(-2)^n(n + 2)x^n}) = -2x\)
Com isso, temos que a série converge se \(|-2x| < 1 \), logo, \(|x| < \frac{1}{2} \).
Fronteira 1: \(x = \frac{1}{2}\)
\(\sum_{n = 0}^\infty (-2)^n \frac{n + 2}{n + 1} x^n = \sum_{n = 0}^\infty (-1)^n \frac{n + 2}{n + 1}\)
Diverge, já que os termos não vão para 0.
Fronteira 2: \(x = -\frac{1}{2}\)
\(\sum_{n = 0}^\infty (-2)^n \frac{n + 2}{n + 1} x^n = \sum_{n = 0}^\infty \frac{n + 2}{n + 1}\)
Diverge pelo mesmo motivo.
Assim, temos que a série converge somente no intervalo \( |x| < \frac{1}{2} \).
Computando a soma nesse intervalo:
\( \sum_{n = 0}^\infty \frac{(-2x)^n(n+2)}{n+1} = \sum_{n = 0}^\infty \frac{(-2x)^n(n+1)}{n+1} + \sum_{n = 0}^\infty \frac{(-2x)^n}{n+1} =
\sum_{n = 0}^\infty (-2x)^n + \frac{1}{2x} \sum_{n = 0}^\infty \frac{(-2x)^{n+1}}{n+1}
= \frac{1}{1 + 2x} + \frac{\log (1 + 2x)}{2x}
\)
Portanto, temos que a série converge no intervalo \( |x| < \frac{1}{2} \) para \(\frac{1}{1 + 2x} + \frac{\log (1 + 2x)}{2x} \)