[Resolução] III.6.5 k)

[Leonardo_06]

Supondo que a função \(f(x) = x - x^2, x \in ]-\pi, \pi]\) seja \(2\pi\)− periódica, calcule a série de Fourier dela:

Resolução:

Para calcular a série de Fourier precisamos encontrar os coeficientes \(a_{0} = \frac{1}{L} \int_{-L}^{L} f(x) dx; \ a_{n} = \frac{1}{L} \int_{-L}^{L} f(x) \cos{\frac{n\pi x}{L}} dx; \ b_{n} = \frac{1}{L} \int_{-L}^{L} f(x) \cos{\frac{n\pi x}{L}} dx\).

Calculando \(a_0\):

\(a_{0} = \frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^{\pi} x -x^2 dx = \frac{1}{\pi} [\frac{x^2}{2} - \frac{x^3}{3}] |_{-\pi}^{\pi}\) \(= \frac{1}{\pi} ([\frac{\pi^2}{2} - \frac{\pi^3}{3}] - [\frac{(-\pi^2)}{2} - \frac{(-\pi^3)}{3}])\) \(= \frac{1}{\pi} [\frac{-2\pi^3}{3}]\) \(= \frac{-2\pi^2}{3}\).


Calculando \(a_n\):

\(a_n = \frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^{\pi} (x - x^2) \cos{nx} \ dx\) \(= \frac{1}{\pi} (\int_{-\pi}^{\pi} x \cos{nx} \ dx - \int_{-\pi}^{\pi} x^2 \cos{nx} \ dx)\)

Como \(f(x) = x\) é uma função ímpar e \(f(x) = \cos{nx}\) é par, temos que: \(\int_{-\pi}^{\pi} x \cos{nx} \ dx = 0\).

Como \(f(x) = x^2\) e \(\cos{nx}\) são funções pares, temos que: \(\int_{-\pi}^{\pi} x^2 \cos{nx} \ dx = 2 \int_{0}^{\pi} x^2 \cos{nx} \ dx \).

Assim:

\( \frac{1}{\pi} (\int_{-\pi}^{\pi} x \cos{nx} \ dx - \int_{-\pi}^{\pi} x^2 \cos{nx} \ dx)\) \(= \frac{1}{\pi} (2 \int_{0}^{\pi} x^2 \cos{nx} \ dx)\).

Resolvendo a integração por partes:

\(\int udv = uv - \int vdu\)

1°\(u = x^2, du = 2xdx, v = \frac{1}{n} \sin{nx}, dv = \cos{nx}\):

\(=\frac{2}{\pi} (x^2 \frac{1}{n} \sin{nx} - \int_{0}^{\pi} 2x \frac{1}{n} \sin{nx} \ dx)\)

Novamente por integração por partes:

2° \(u = 2x, du = o, v = -\frac{1}{n^2} \cos{nx}, dv = \frac{1}{n} \sin{nx}\):

\(\frac{2}{\pi} ((x^2 \frac{1}{n} \sin{nx}) - (-2x \frac{1}{n^2} \cos{nx}) |_{0}^{\pi} \)

\(= \frac{2}{pi} (2\pi \frac{1}{n^2} \cos{n\pi})\)

podemos reescrever \(\cos{n\pi} = (-1)^n\), pois \(\cos{n\pi}\) oscila entre \(1\) e \(-1\). Assim:

\(a_n =\frac{4}{n^2} (-1)^n\).


Calculando \(b_n\):

\(b_n = \frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^{\pi} (x - x^2) \sin{nx} \ dx\)

\(= \frac{1}{\pi} (\int_{-\pi}^{\pi} x \sin{nx} \ dx - \int_{-\pi}^{\pi} x^2 \sin{nx} \ dx)\)

Como \(f(x) = x^2\) é par e \(f(x) \sin{nx}\) é ímpar, temos que \(\int_{-\pi}^{\pi} x^2 \sin{nx} \ dx = 0\).

Como \(f(x) = x\) e \(f(x) = \sin{nx}\) são funções ímpares, temos que \(\int_{-\pi}^{\pi} x \sin{nx} \ dx = 2 \int_{0}^{\pi} x \sin{nx} \ dx\).

Assim:

\(\frac{2}{\pi} ( \int_{0}^{\pi} x \sin{nx} \ dx)\)

integrando por partes:

3° \(u = x, du = dx, v = -\frac{1}{n} \cos{nx}, dv = \sin{nx}\)

\(= \frac{2}{\pi} ((-x \frac{1}{n} \cos{nx})_{0}^{\pi} - \int_{0}^{\pi} -\frac{1}{n} \cos{nx} \ dx)\)

\(\frac{2}{\pi} (\frac{1}{n} (-x \cos{nx} + \frac{1}{n} \sin{nx})_{0}^{\pi})\)

\(= \frac{2}{\pi} (\frac{1}{n} (-\pi \cos{n\pi})) = -\frac{2}{n} (-1)^n\).

Portanto, a série de Fourier da função \(f(x) = x - x^2\) é dada por:

S\(_f(x)\) \(= -\frac{\pi^2}{3} + \sum_{n = 1}^{\infty} (-1)^n (\frac{4}{n^2} \cos{nx} - \frac{2}{n} \sin{nx})\).