Enunciado:
Em cada um dos exercícios de 3 a 9, a série de potências é usada para definir a função \(f\). Determine o intervalo de convergência em cada caso e mostre que \(f\) satisfaz a equação diferencial indicada, onde \(y = f(x)\)
3. \(\sum_{n=0}^\infty\ \frac{x^{4n}}{(4n)!}\); \(\frac{d^4y}{dx^4}\)
Solução:
Para determinar o intervalo de convergência, utilizamos o teste da razão:
\(L = \lim_{n \to \infty} \frac{a_{n+1}}{a_n} = \lim_{n \to \infty} |\frac{x^{4n+4}}{(4n + 4)!}| \cdot |\frac{(4n)!}{x^{4n}}| = \lim_{n \to \infty} \frac{x^4}{(4n + 4)(4n + 3)(4n + 2)(4n + 1)} = 0\)
\(R = \frac{1}{L} = \infty\)
A série converge para todo \(x \in \mathbb{R}\)
Agora, para mostrar que a série satisfaz a equação diferencial, vamos diferenciá-la quatro vezes:
\(y' = \sum_{n=1}^\infty\ \frac{4nx^{4n - 1}}{(4n)!} = \sum_{n=1}^\infty\ \frac{x^{4n - 1}}{(4n - 1)!}\)
\(y'' = \sum_{n=1}^\infty\ \frac{(4n -1)x^{4n - 2}}{(4n - 1)!} = \sum_{n=1}^\infty\ \frac{x^{4n - 2}}{(4n - 2)!}\)
\(y''' = \sum_{n=1}^\infty\ \frac{(4n -2)x^{4n - 3}}{(4n - 2)!} = \sum_{n=1}^\infty\ \frac{x^{4n - 3}}{(4n - 3)!}\)
\(y'''' = \sum_{n=1}^\infty\ \frac{(4n - 3)x^{4n - 4}}{(4n - 3)!} = \sum_{n=1}^\infty\ \frac{x^{4n - 4}}{(4n - 4)!}\)
Contudo, podemos reindexar o último somatório:
\(y'''' = \sum_{n=1}^\infty\ \frac{x^{4n - 4}}{(4n - 4)!} = \sum_{n=0}^\infty\ \frac{x^{4(n + 1) - 4}}{(4(n + 1) - 4)!} = \sum_{n=0}^\infty\ \frac{x^{4n}}{(4n)!} = y\)
Portanto, \(f(x)\) satisfaz a equação diferencial