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Supondo que a série seja \(2\pi\) periódica, calcule a série de Fourier da função:
\(f(x)=|x|\) onde \(x\in[-\pi, \pi]\)
Primeiro passo é o cálculo dos coeficientes de Fourier.
\(a_0 = \frac{1}{L} \int_{-l}^{l}f(x)dx\)
\(a_0 = \frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}|x|dx = \frac{2}{\pi}\int_{0}^{\pi}xdx\)
\(a_0 = \frac{2}{\pi} (\frac{x^2}{2}|_{0}^{\pi})\)
\(a_0 = \pi\)

\(a_n = \frac{1}{L}\int_{-L}^{L}f(x)cos(\frac{n\pi x}{L})\)
\(a_n = \frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}|x|cos(nx)\)
\(a_n = \frac{2}{\pi}\int_{0}^{\pi}xcos(nx)\)

Utilizando método integração por partes:

\(\int u dv = u v - \int v du\)

\(a_n = \frac{2}{\pi}(\frac{xsin(nx)}{n}|_{0}^{\pi} - \int_{0}^{\pi}\frac{sin(nx)}{n})\)
\(a_n = \frac{2}{\pi} (\frac{cos(nx)}{n^2} |_{0}^{\pi})\)
\(a_n = \frac{2}{\pi}(\frac{cos(n\pi)}{n^2} - \frac{\cos 0}{n^2})\)
\(a_n = \frac{2(-1)^{n} - 2}{\pi n^2}\)

Pela paridade da função:
\(b_n = 0\)

Portanto a série é dada por:
\(S(x) = \frac{a_0}{2} + \sum_{n=0}^{\infty} a_n cos(nx)\)
\(S(x) = \frac{\pi}{2} + \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(2(-1)^{n} - 2) * cos(nx)}{\pi n^2} \)