[Resolução] 11.16.18
Posted: 06 Dec 2022 09:58
Derivar duas vezes:
\begin{align*} f(x) &= \sum_{n=0}^{\infty} a_n x^n \\ f'(x) &= \sum_{n=1}^{\infty} na_n x^{n-1} \\ f''(x) &= \sum_{n=2}^{\infty} n(n-1)a_n x^{n-2}. \end{align*}
Das condições f(0) = 0 e f'(0) = 2:
\begin{align*} f(0) &= \sum_{n=0}^{\infty} a_n 0^n = a_0 = 0 \\ f'(0) &= \sum_{n=1}^{\infty} a_n 0^{n-1} = a_1 = 2. \end{align*}
Pegando as expressões para y, y', e y'' na equação diferencial, obtemos:
\begin{align*} &&(1-x^2)\sum_{n=2}^{\infty} n(n-1)a_n x^{n-2} - 2x \sum_{n=1}^{\infty} na_n x^{n-1} + 12 \sum_{n=0}^{\infty} a_n x^n &= 0 \\[9pt] \implies && \sum_{n=2}^{\infty} n(n-1)a_n x^{n-2} - \sum_{n=2}^{\infty} n(n-1)a_n x^n - 2 \sum_{n=1}^{\infty} na_n x^n + 12\sum_{n=0}^{\infty} a_n x^n &=0 \\[9pt] \implies && \sum_{n=0}^{\infty} (n+2)(n+1)a_{n+2} x^n - \sum_{n=2}^{\infty} n (n-1)a_n x^n - 2 \sum_{n=1}^{\infty} na_n x^n + 12 \sum_{n=0}^{\infty} a_n x^n &= 0 \\[9pt] \implies && \left( \sum_{n=2}^{\infty} \left( (n+2)(n+1)a_{n+2} - n(n-1)a_n - 2na_n + 12a_n \right)x^n \right) + 2a_2 + 6a_3 x- 2a_1 x + 12a_0 + 12a_1 x &= 0. \end{align*}
Substituindo os valores \(a_0 = 0\) e \(a_1 = 2\) obtemos:
\begin{align*} && \left( \sum_{n=2}^{\infty} \left( (n+2)(n+1)a_{n+2} - n(n-1)a_n - 2na_n + 12a_n \right)x^n \right) + 2a_2 + 6a_3 x - 4x + 24x &= 0 \\[9pt] \implies && \left( \sum_{n=2}^{\infty} \left( (n+2)(n+1)a_{n+2} -a_n (n^2 +n -12) \right) x^n \right) +2a_2 + (6a_3 + 20)x &= 0. \end{align*}
Como a soma é 0 para todo x, sabemos que os coeficientes devem ser todos iguais a 0. Primeiro, resolvemos\(a_2\) e \(a_3\),
\begin{align*} 2a_2 &=0 &\implies && a_2 &= 0 \\ 6a_3 +20 &=0 &\implies && a_3 &= -\frac{10}{3}. \end{align*}
Obtendo a relação:
\[ (n+2)(n+1)a_{n+2} - (n+4)(n-3)a_n = 0 \quad \implies \quad a_{n+2} = \frac{(n+4)(n-3)}{(n+2)(n+1)} a_n. \]
Para os termos pares:
sendo \( a_2 = 0\) temos \(a_4 = a_6 = \cdots = 0\).
Para os termos ímpares, começãndo com n =3, temos:
\[ a_5 = \frac{(7)(0)}{(5)(4)} a_3 = 0. \]
Os outros termos ímpares \(a_5 = a_7 = \cdots = 0\). Portanto sobra os coeficientes:
\[ a_0 = a_2 = \cdots = 0, \qquad a_1 = 2, \quad a_3 = -\frac{10}{3}, \quad a_5 = a_7 = \cdots = 0. \]
A soma é:
\[ f(x) = 2x - \frac{10}{3}x^3. \]
\begin{align*} f(x) &= \sum_{n=0}^{\infty} a_n x^n \\ f'(x) &= \sum_{n=1}^{\infty} na_n x^{n-1} \\ f''(x) &= \sum_{n=2}^{\infty} n(n-1)a_n x^{n-2}. \end{align*}
Das condições f(0) = 0 e f'(0) = 2:
\begin{align*} f(0) &= \sum_{n=0}^{\infty} a_n 0^n = a_0 = 0 \\ f'(0) &= \sum_{n=1}^{\infty} a_n 0^{n-1} = a_1 = 2. \end{align*}
Pegando as expressões para y, y', e y'' na equação diferencial, obtemos:
\begin{align*} &&(1-x^2)\sum_{n=2}^{\infty} n(n-1)a_n x^{n-2} - 2x \sum_{n=1}^{\infty} na_n x^{n-1} + 12 \sum_{n=0}^{\infty} a_n x^n &= 0 \\[9pt] \implies && \sum_{n=2}^{\infty} n(n-1)a_n x^{n-2} - \sum_{n=2}^{\infty} n(n-1)a_n x^n - 2 \sum_{n=1}^{\infty} na_n x^n + 12\sum_{n=0}^{\infty} a_n x^n &=0 \\[9pt] \implies && \sum_{n=0}^{\infty} (n+2)(n+1)a_{n+2} x^n - \sum_{n=2}^{\infty} n (n-1)a_n x^n - 2 \sum_{n=1}^{\infty} na_n x^n + 12 \sum_{n=0}^{\infty} a_n x^n &= 0 \\[9pt] \implies && \left( \sum_{n=2}^{\infty} \left( (n+2)(n+1)a_{n+2} - n(n-1)a_n - 2na_n + 12a_n \right)x^n \right) + 2a_2 + 6a_3 x- 2a_1 x + 12a_0 + 12a_1 x &= 0. \end{align*}
Substituindo os valores \(a_0 = 0\) e \(a_1 = 2\) obtemos:
\begin{align*} && \left( \sum_{n=2}^{\infty} \left( (n+2)(n+1)a_{n+2} - n(n-1)a_n - 2na_n + 12a_n \right)x^n \right) + 2a_2 + 6a_3 x - 4x + 24x &= 0 \\[9pt] \implies && \left( \sum_{n=2}^{\infty} \left( (n+2)(n+1)a_{n+2} -a_n (n^2 +n -12) \right) x^n \right) +2a_2 + (6a_3 + 20)x &= 0. \end{align*}
Como a soma é 0 para todo x, sabemos que os coeficientes devem ser todos iguais a 0. Primeiro, resolvemos\(a_2\) e \(a_3\),
\begin{align*} 2a_2 &=0 &\implies && a_2 &= 0 \\ 6a_3 +20 &=0 &\implies && a_3 &= -\frac{10}{3}. \end{align*}
Obtendo a relação:
\[ (n+2)(n+1)a_{n+2} - (n+4)(n-3)a_n = 0 \quad \implies \quad a_{n+2} = \frac{(n+4)(n-3)}{(n+2)(n+1)} a_n. \]
Para os termos pares:
sendo \( a_2 = 0\) temos \(a_4 = a_6 = \cdots = 0\).
Para os termos ímpares, começãndo com n =3, temos:
\[ a_5 = \frac{(7)(0)}{(5)(4)} a_3 = 0. \]
Os outros termos ímpares \(a_5 = a_7 = \cdots = 0\). Portanto sobra os coeficientes:
\[ a_0 = a_2 = \cdots = 0, \qquad a_1 = 2, \quad a_3 = -\frac{10}{3}, \quad a_5 = a_7 = \cdots = 0. \]
A soma é:
\[ f(x) = 2x - \frac{10}{3}x^3. \]