Resolução:Supondo que a função abaixo seja 2\(\pi\)- períodica, calcule sua série de Fourier.
\( f(x) = sen(|x|), x \in [-\pi, \pi ]\)
Para calcular a série de Fourier, é necessário calcular os coeficientes de Fourier. Como a função dada é par, então \( b_n = 0\), \(a_0 = \dfrac{1}{\pi} \int\limits_{-\pi}^\pi sen(|x|)dx\) e \(a_n = \dfrac{1}{\pi} \int\limits_{-\pi}^\pi sen(|x|) cos(nx)dx\).
Começamos resolvendo o \(a_0 \):
\(a_0 = \dfrac{1}{\pi} \int\limits_{-\pi}^\pi sen(|x|)dx = \dfrac{1}{\pi} (\int\limits_{-\pi}^0 sen(-x)dx + \int\limits_{0}^\pi sen(x)dx) = \dfrac{4}{\pi} \)
Resolvendo o \(a_n \):
\(a_n = \dfrac{1}{\pi} \int\limits_{-\pi}^\pi sen(|x|) cos(nx)dx = \int _{-\pi }^0sen \left(-x\right)\cos \left(\frac{n\pi x}{\pi }\right)dx+\int _0^{\pi }sen \left(x\right)\cos \left(\frac{n\pi x}{\pi }\right)dx \)
Resolvendo cada uma das integrais de \(a_n\):
\(\int _{-\pi }^0sen \left(-x\right)\cos \left(\frac{n\pi x}{\pi }\right)dx = -\int _{-\pi }^0\cos \left(nx\right)sen \left(x\right)dx\)
Usando a identidade trigonometrica \(\cos \left(t\right)sen \left(s\right)=\frac{sen \left(s+t\right)+sen \left(s-t\right)}{2}\):
\( -\int _{-\pi }^0\cos \left(nx\right)sen \left(x\right)dx = -\int _{-\pi }^0\frac{\sin \left(x+nx\right)+\sin \left(x-nx\right)}{2}dx =-\frac{1}{2}\cdot \int _{-\pi }^0\sin \left(x+nx\right)+\sin \left(x-nx\right)dx = -\frac{1}{2}\cdot \int _{-\pi }^0\sin \left(x+nx\right)+\sin \left(x-nx\right)dx\).
Resolvendo por substituição:
\(-\frac{1}{2}\cdot \int _{-\pi }^0\sin \left(x+nx\right)+\sin \left(x-nx\right)dx = -\frac{1}{2}(\frac{1}{1+n}\left[-\cos \left(u\right)\right]_{-\pi -\pi n}^0 + \frac{1}{1-n}\left[-\cos \left(u\right)\right]_{-\pi +\pi n}^0) = -\frac{1}{2}(\frac{-1-\left(-1\right)^n}{1+n} + \frac{-1-\left(-1\right)^n}{1-n}) = \quad \frac{\left(-1\right)^n+1}{\left(n+1\right)\left(-n+1\right)}\)
A outra integral se resolve utilizando as mesmas estratégias, então:
\(\int _0^{\pi }sen \left(x\right)\cos \left(\frac{n\pi x}{\pi }\right)dx = -\frac{\left(-1\right)^{-n}+1}{\left(n+1\right)\left(n-1\right)} \).
Assim:
\(a_n = \frac{1}{\pi}(\frac{\left(-1\right)^n+1}{\left(n+1\right)\left(-n+1\right)}-\frac{\left(-1\right)^{-n}+1}{\left(n+1\right)\left(n-1\right)}) \).
Jutando tudo na Série de Fourier para funções pares:
\(S_f(x) = \frac{1}{2}\cdot \:\frac{4}{\pi}+\sum _{n=1}^{\infty \:}\frac{1}{\pi }\left(\frac{\left(-1\right)^n+1}{\left(n+1\right)\left(-n+1\right)}-\frac{\left(-1\right)^{-n}+1}{\left(n+1\right)\left(n-1\right)}\right)\cos \left(\frac{n\pi x}{\pi }\right) = \frac{2}{\pi }+\sum _{n=1}^{\infty \:}\frac{\cos \left(nx\right)\left(-\left(-1\right)^n-\left(-1\right)^{-n}-2\right)}{\pi \left(n+1\right)\left(n-1\right)}\)