Enunciado:
Considere a série de potência:
\[ f(x) = \sum_{n=0}^{\infty} a_n x^n \]
com os coeficientes dados pela identidade
\[ e^{-2x} = \sum_{n=0}^{\infty} (2a_n + (n+1)a_{n+1})x^n. \]
compute os coeficientes \( a_1, a_2, a_3 \) e determine a soma da série
Resolução:
Sabemos que a expansão de para a série de potência de \(e^{-2x}\) é dada por:
\[ e^{-2x} = 1 + (-2x) + \frac{(-2x)^2}{2!} + \frac{(-2x)^3}{3!} + \cdots. \]
Começando com \(a_0 = 1 \) e a identidade descrita podemos computar os coeficientes \( a_1, a_2, a_3\) as potências equivalentes de \(x\):
\begin{align*} 2a_0 + a_1 &= 1 & \implies && a_1 &= -1 \\[9pt] 2a_1 + 2a_2 &= -2 & \implies && a_2 &= 0 \\[9pt] 2a_2 + 3a_3 &= 2 & \implies && a_3 &= \frac{2}{3}. \end{align*}
Logo, da identidade para os coeficientes (e notando que a série converge absolutamente para todo \(x\) real então podemos dividir a soma em partes separadas),
\begin{align*} e^{-2x} &= \sum_{n=0}^{\infty} (2a_n + (n+1)a_{n+1})x^n \\[9pt] &= 2 \sum_{n=0}^{\infty} a_n x^n + \sum_{n=0}^{\infty} (n+1)a_{n+1} x^n \\[9pt] &= 2 f(x) + f'(x). \end{align*}
Esta é uma equção diferencial de primeira ordem da forma \(y' + P(x) y = Q(x)\). Além disso, a condição inicial \(a_0 = 1\) implica que \(y = 1\) quando \(x = 0\). Desta forma, a solução é dada por:
\[ y = be^{-A(x)} + e^{-A(x)} \int_a^x Q(t) e^{A(t)} \, dt \]
onde
\[ a = 0, \quad b= 1, \quad A(x) = \int_0^x P(t) \,dt = 2x. \]
Então temos finalmente que:
\begin{align*} f(x) &= e^{-2x} + e^{-2x} \int_0^x e^{-2t} e^{2t} \, dt \\[9pt] &= e^{-2x} + e^{-2x} \int_0^x \, dt \\[9pt] &= (x+1)e^{-2x}. \end{align*}