[Resolução] III.6.16a

[roassaf]

I) Para escrever sua representação em função de senos vamos considerar que a extensão do intervalo para um simétrico resulta em uma função ímpar, e sendo assim temos que tanto o a0 quanto o an serão iguais a 0.
Agora resta calcular bn para termos a série de Fourier:
\(
b_n = \frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}sen(nx)dx=\frac{2}{\pi}\int_{0}^{\pi}25sen(nx)=\frac{50}{\pi}\int_{0}^{\pi}sen(nx)= \frac{50}{\pi}(\frac{-cos(n\pi)}{n^2}-\frac{-cos(0)}{n^2}) = \frac{50-50cos(n\pi)}{n^2}\\
n_{par} = 0 \\
n_{impar} = \frac{100}{n^2}
\)
Assim podemos concluir que a série de Fourier em função dos senos se dá por:
\(
f(x) = \sum_{0}^{\infty}\frac{100}{(2n+1)^2}\cdot sen((2n+1)x)
\)
II)Para escrever sua representação em função de cossenos vamos considerar que a extensão do intervalo para um simétrico resulta em uma função par, e sendo assim temos que b0 será igual a 0.
Agora resta calcular a0 e an para termos a série de Fourier:
\(
a_0 = \frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}25dx = \frac{2}{\pi}\int_{0}^{\pi}25dx = \frac{50\pi}{\pi} = 50
a_n = \frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}25cos(nx)dx = \frac{2}{\pi}\int_{0}^{\pi}25cos(nx)dx = \frac{50\pi}{\pi}(\frac{sen(n\pi)}{n^2}-\frac{sen(0)}{n^2})=0
\)
Como é possível ver, temos uma função constante novamente, pois a função constante já é par por natureza e se repete periodicamente. dessa maneira temos que tanto an quanto bn são 0 e que a série de fourier é igual a função original, dada por:
\(
f(x) = \frac{a_0}{2} = \frac{50}{2} = 25
\)

[pedromonici]

Olá! Muito boa a sua resolução! Apenas uma dúvida a respeito de exercícios desse modelo, seria necessário verificar se \(f(x)\) possui finitas descontinuidades no intervalo inicial (no caso, [0, pi]) antes de iniciar o exercício, certo?