Resolução:Seja \(f(x) = e^{-1/x^2}\;\) se \(x \neq 0\), e seja \(f(0) = 0\).
(a) Mostrar que \(f\) admite derivada de todas as ordens em todo o eixo real.
(b) Mostrar que \(f^{(n)}(0) = 0\) para todo \(n \geq 1\). Este exemplo mostra que a série de Taylor gerada por \(f\) em torno do ponto \(0\) converge em todo o eixo real, mas que representa \(f\) apenas na origem.
Por indução é possível provar que de fato \(f^{(n)}(0) = 0 \; \forall \; n \geq 1\).
Com \(n = 1\), temos
\(f'(0) = \lim_{x \to 0} \dfrac{f(x) - f(0)}{x - 0}\\\)
\(= \lim_{x \to 0} \dfrac{e^{-1/x^2}}{x}\\\)
\(= \lim_{x \to 0} \dfrac{x^{-1}}{e^{1/x^2}}\\\)
\(= \lim_{x \to 0} \dfrac{-1/x^2}{(-2/x^3)e^{1/x^2}}\\\)
\(= \lim_{x \to 0} \dfrac{x}{2e^{1/x^2}}\\\)
\(= \lim_{x \to 0} P(x)e^{-1/x^2}\quad\) sendo \(P\) um polinômio em \(x\).
\(= 0.\)
Assumindo que \(f^{(k)}(0) = \lim_{x \to 0} P_k(x)e^{-1/x^2} = 0\) para um inteiro \(k\),
\(f^{(k+1)}(0) = \lim_{x \to 0} \dfrac{f^{(k)}(x) - f^{(k)}(0)}{x - 0}\\\)
\(= \lim_{x \to 0} \dfrac{P_k(x)e^{-1/x^2}}{x}\\\)
\(= \lim_{x \to 0} \dfrac{P_k(x)/x}{e^{1/x^2}}\\\)
\(= \lim_{x \to 0} \dfrac{xP'_k(x) + 2P_k(x)/x^2}{-2/x^3e^{1/x^2}}\\\)
\(= \lim_{x \to 0} \dfrac{P_{k+1}(x)}{e^{1/x^2}}\\\)
\(= 0.\)
Como \(P_{k+1}(x) \to c\) para qualquer polinômio \(P\) em \(x\), e \(e^{1/x^2} \to +\infty\) quando \(x \to 0\), temos que \(f^{(n)}(0) = 0 \; \forall \; n \geq 1\). Em razão disso, a série de Taylor gerada por \(f\) em torno de \(0\) converge para todo o eixo real. Contudo, para \(x \neq 0, \; f(x) - e^{-1/x^2} \neq 0\), já que \(e^x \neq 0 \; \forall \; x\). Logo, conclui-se que a série de Taylor gerada por \(f\) em torno do ponto 0 converge em todo o eixo dos reais, mas representa \(f\) apenas na origem.