[Resolução] 11.13.23
Posted: 03 Dec 2022 11:55
Considerando a função \(f(x) = (2 + x^2)^{\frac{5}{2}}\) , determinar os cinco primeiros coeficientes na expansão da série de Taylor de \(f(x)\) em \(x = 0\)
Primeiramente calculamos as derivadas de \(f(x)\):
\(f^{'}(x) = 5x(2 + x^2)^{\frac{3}{2}}\)
\(f^{''}(x) = 15x^2 (2 + x^2)^{\frac{1}{2}} + 5 (2 + x^2)^{\frac{3}{2}}\)
\(f^{'''}(x) = \frac{15x^3}{(2 + x^2)^{\frac{1}{2}}} + 45x(2 + x^2)^{\frac{1}{2}}\)
\(f^{(4)}(x) = - \frac{15x^4}{(2 + x^2)^{\frac{3}{2}}} + \frac{90x^2}{(2 + x^2)^{\frac{1}{2}}} + 45x(2 + x^2)^{\frac{1}{2}}\)
Como os coeficientes na série de Taylor em \(x = 0\) são da forma \(a_n = \frac{f^{(n)}(0)}{n!}\) podemos computar da seguinte forma:
\(a_0 = \frac{f(0)}{0!} = 4\sqrt{2}\)
\(a_1 = \frac{f^{'}(0)}{1!} = 0\)
\(a_2 = \frac{f^{''}(0)}{2!} = 5\sqrt{2}\)
\(a_3 = \frac{f^{'''}(0)}{3!} = 0\)
\(a_4 = \frac{f^{(4)}(0)}{4!} = \frac{15}{8} \sqrt{2}\)
Primeiramente calculamos as derivadas de \(f(x)\):
\(f^{'}(x) = 5x(2 + x^2)^{\frac{3}{2}}\)
\(f^{''}(x) = 15x^2 (2 + x^2)^{\frac{1}{2}} + 5 (2 + x^2)^{\frac{3}{2}}\)
\(f^{'''}(x) = \frac{15x^3}{(2 + x^2)^{\frac{1}{2}}} + 45x(2 + x^2)^{\frac{1}{2}}\)
\(f^{(4)}(x) = - \frac{15x^4}{(2 + x^2)^{\frac{3}{2}}} + \frac{90x^2}{(2 + x^2)^{\frac{1}{2}}} + 45x(2 + x^2)^{\frac{1}{2}}\)
Como os coeficientes na série de Taylor em \(x = 0\) são da forma \(a_n = \frac{f^{(n)}(0)}{n!}\) podemos computar da seguinte forma:
\(a_0 = \frac{f(0)}{0!} = 4\sqrt{2}\)
\(a_1 = \frac{f^{'}(0)}{1!} = 0\)
\(a_2 = \frac{f^{''}(0)}{2!} = 5\sqrt{2}\)
\(a_3 = \frac{f^{'''}(0)}{3!} = 0\)
\(a_4 = \frac{f^{(4)}(0)}{4!} = \frac{15}{8} \sqrt{2}\)