Tire uma dúvida, deixe uma dúvida

Enunciado:

Determine se a sequência abaixo converge ou diverge, e se converge encontre o limite.

\(f(n) = (1 + i/2)^{-n}\)

Resposta:

Para verificar se a sequência acima converge ou não, verificamos seu limite quando n tende ao infinito:

\( \lim_{n \to \infty}{(1 + i/2)^{-n}} \)

Como \((1 + i/2)\) é uma função contínua, podemos calcular o limite da seguinte forma:

\( (1 + i/2)^{\lim_{n \to \infty}{-n}} \)

Logo:
\( \lim_{n \to \infty}{(1 + i/2)^{-n}} = (1 + i/2)^{-\infty} = 0\)

Portanto, a sequência descrita no enunciado converge para 0.

Não foi muito adequada a manipulação com \(1 + \frac{i}{2}\), note que se trata de um número complexo, com sua parte real e imaginária. Fazendo o módulo temos \(\lim_{n \rightarrow \infty} (\sqrt{1^{2} + (\frac{1}{2})^{2}})^{-n} = \lim_{n \rightarrow \infty} (\frac{2}{\sqrt{5}})^{n} = 0\)