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Calcular a Série de Fourier da função \(f(x)=x\), em que \(x\in[-\pi,\pi]\).


Série de Fourier
\[
S_{f}(x)=\frac{a_0}{2}+\sum_{n=1}^{\infty}(a_n \cos{(nx)}+b_n\sin{(nx)})
\]
Considerando os termos da série de Fourier:
\[
a_0=\frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^{\pi} f(x)dx
\]
\[
a_n=\frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^{\pi} f(x)\cos{(nx)dx}
\]
\[
b_n=\frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^{\pi} f(x)\sin{(nx)dx}
\]
E agora tomando, como especificado no enunciado, \(f(x)=x\), podemos calcular os termos:
\[
a_0=\frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^{\pi} x dx = 0
\]
\[
a_n=\frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^{\pi} x\cos{(nx)dx}=0
\]

\[
b_n=\frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^{\pi} x\sin{(nx)dx}=\frac{2\sin{(n\pi)}}{n^2\pi}-\frac{2\cos{(n\pi)}}{n}
\]

Vamos reescrever \(b_n\) de uma forma melhor considerando que \(\sin{(n\pi)}=0\) pra qualquer n inteiro maior que 1.
Temos que:
\[b_n=-\frac{2\cos{(n\pi)}}{n}\]
Para valores de n pares \(\cos{(n\pi)}=1\), logo para esse caso par:
\[b_n=-\frac{2}{n}\]
para valores de n ímpares \(\cos{(n\pi)}=-1\), logo para esse caso ímpar:
\[b_n=\frac{2}{n}\]
Podemos então, reescrever \(b_n\) como:

\[b_n=(-1)^{n-1}\frac{2}{n}\]
Sendo assim, \(f(x)=x\) pode ser representada pela série

\[S_{f}(x)=\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n-1}\frac{2\sin(nx)}{n}\]