[Resolução] 11.16.15
Posted: 01 Dec 2022 21:54
Enunciado: Dada a série de potência:
\(\sum_{n = 0}^{\infty} (-1)^n nx^{n} \)
Determine para quais valores de \(x\) a série converge e o valor da soma da série.``
Aplicando o teste da razão para convergência absoluta:
\(L = \lim_{n \rightarrow \infty} \frac{|a_{n+1}|}{|a_n|} = \lim_{n \rightarrow \infty} \frac{|nx^{n+1}|}{|nx^{n}|} = \lim_{n \rightarrow \infty} \frac{nx^{n+1}}{nx^{n}} = x \)
O teste da razão diz que a série converge quando L < 1, assim:
\(0 < x < 1\)
Dessa forma, a série converge absolutamente em \(|x|<1\). Para \(x=1\) a série pode ser escrita como \(\sum_{n = 0}^{\infty} (-1)^n n\). Que é uma série que diverge. Para \(x=0\), a série assume o valor de 0, que é converge
Assim, a série dada converge para \(x\) no intervalo \(0<=x<1\).
\(\sum_{n = 0}^{\infty} (-1)^n nx^{n} \)
Determine para quais valores de \(x\) a série converge e o valor da soma da série.``
Aplicando o teste da razão para convergência absoluta:
\(L = \lim_{n \rightarrow \infty} \frac{|a_{n+1}|}{|a_n|} = \lim_{n \rightarrow \infty} \frac{|nx^{n+1}|}{|nx^{n}|} = \lim_{n \rightarrow \infty} \frac{nx^{n+1}}{nx^{n}} = x \)
O teste da razão diz que a série converge quando L < 1, assim:
\(0 < x < 1\)
Dessa forma, a série converge absolutamente em \(|x|<1\). Para \(x=1\) a série pode ser escrita como \(\sum_{n = 0}^{\infty} (-1)^n n\). Que é uma série que diverge. Para \(x=0\), a série assume o valor de 0, que é converge
Assim, a série dada converge para \(x\) no intervalo \(0<=x<1\).