[Resolução] 11.7.10
Posted: 30 Nov 2022 21:52
11.7.10) Determine o raio de convergência de \(\sum \frac{3^{\sqrt{n}} z^n}{n} \):
Considerando \(a_n = \sum \frac{3^{\sqrt{n}} z^n}{n} \). Então,
\(
\begin{equation}
\begin{split}
\lim_{n \to \infty} a_n^{\frac{1}{n}} & = \lim_{n \to \infty} ( \frac{3^{\sqrt{n}} z^n}{n})^{\frac{1}{n}} \\
& = \lim_{n \to \infty} \frac{3^{\frac{1}{\sqrt{n}}}z}{n^{\frac{1}{n}}} \\
& = z
\end{split}
\end{equation}
\)
Assim, o raio de convergência é \(r = 1\), e a série converge para \(z\), tal que \(|z| < 1\).
Considerando \(a_n = \sum \frac{3^{\sqrt{n}} z^n}{n} \). Então,
\(
\begin{equation}
\begin{split}
\lim_{n \to \infty} a_n^{\frac{1}{n}} & = \lim_{n \to \infty} ( \frac{3^{\sqrt{n}} z^n}{n})^{\frac{1}{n}} \\
& = \lim_{n \to \infty} \frac{3^{\frac{1}{\sqrt{n}}}z}{n^{\frac{1}{n}}} \\
& = z
\end{split}
\end{equation}
\)
Assim, o raio de convergência é \(r = 1\), e a série converge para \(z\), tal que \(|z| < 1\).