[Resolução] 10.20.28

[macarrao_carbonara]

Enunciado
$$\sum^{\infty}_{n = 1} an$$ $$ an = \Biggl\{ \frac{1}{n^2} \text{if it's odd}, \frac{-1}{n} \text{if it's even} $$

Resposta:

\begin{gather}
\text{Considere: }\\
\sum^{\infty}_{n = 1} an = \sum^\infty_{n=1} \Biggl(\frac{1}{(2n+1)^2 - \frac{1}{2n}} \Biggr) \\
\text{Sabe-se que a série}
\sum^\infty_{n=1} \frac{1}{(2n+1)^2} \text{ converge se comparada com } \sum^\infty_{n=1} \frac{1}{n^2} \\
\text{Entretanto,} \sum^\infty_{n=1} \frac{-1}{2n} \text{ diverge se comparada com } \sum^\infty_{n=1} \frac{1}{n}\\
\text{portanto, com a diferença dos dois no denominador, essa série diverge.}
\end{gather}