[Resolução] 11.13.1
Posted: 22 Nov 2022 22:20
Enunciado: Dada a série de potência:
\(\sum_{n = 0}^{\infty} (-1)^n x^{2n} \)
Determine para quais valores de \(x\) a série converge e o valor da soma da série.
Aplicando o teste da razão em módulo:
\(L = \lim_{n \rightarrow \infty} \frac{|a_{n+1}|}{|a_n|} = \lim_{n \rightarrow \infty} \frac{|x^{2n+2}|}{|x^{2n}|} = \lim_{n \rightarrow \infty} \frac{x^{2n+2}}{x^{2n}} = x^2 \)
Para que a série seja convergente, \(L\) deve ser menor que 1. Assim:
\(x^2 < 1 \longrightarrow -1<x<1\)
Dessa forma, a série converge absolutamente em \(|x|<1\). Para \(x=1\) e \(x=-1\), a série pode ser escrita como \(\sum_{n = 0}^{\infty} (-1)^n\) em ambos os casos, e sabemos que esta série diverge.
Portanto, a série dada converge para \(x\) no intervalo \(-1<x<1\).
Calculando os primeiros termos da série, teremos:
\(1, -x^2, x^4, -x^6, ...\)
Assim, como |x|<1, é possível notar que a soma pode ser calculada pela soma de uma progressão geométrica infinita com razão \(q = -x^2\). Dessa forma:
\(S = \frac{1}{1-q} = \frac{1}{1-(-x^2)} = \frac{1}{1+x^2}\)
\(\sum_{n = 0}^{\infty} (-1)^n x^{2n} \)
Determine para quais valores de \(x\) a série converge e o valor da soma da série.
Aplicando o teste da razão em módulo:
\(L = \lim_{n \rightarrow \infty} \frac{|a_{n+1}|}{|a_n|} = \lim_{n \rightarrow \infty} \frac{|x^{2n+2}|}{|x^{2n}|} = \lim_{n \rightarrow \infty} \frac{x^{2n+2}}{x^{2n}} = x^2 \)
Para que a série seja convergente, \(L\) deve ser menor que 1. Assim:
\(x^2 < 1 \longrightarrow -1<x<1\)
Dessa forma, a série converge absolutamente em \(|x|<1\). Para \(x=1\) e \(x=-1\), a série pode ser escrita como \(\sum_{n = 0}^{\infty} (-1)^n\) em ambos os casos, e sabemos que esta série diverge.
Portanto, a série dada converge para \(x\) no intervalo \(-1<x<1\).
Calculando os primeiros termos da série, teremos:
\(1, -x^2, x^4, -x^6, ...\)
Assim, como |x|<1, é possível notar que a soma pode ser calculada pela soma de uma progressão geométrica infinita com razão \(q = -x^2\). Dessa forma:
\(S = \frac{1}{1-q} = \frac{1}{1-(-x^2)} = \frac{1}{1+x^2}\)