Tire uma dúvida, deixe uma dúvida

Eu, Nícolas, e o Luan, estaremos responsáveis pelo Exercício III.3.38, cujo enunciado é o que segue:

Se existem espaços ccc \(X, Y \) tais que \(X \times Y\) não é ccc, então existe ao menos um espaço ccc \(Z\) de modo que \(Z \times Z\) é ccc. Ainda mais, se existem posets ccc \(\mathbb{P}, \mathbb{Q} \) tais que \(\mathbb{P} \times \mathbb{Q}\) não é ccc, então existe ao menos um espaço ccc \(\mathbb{R}\) de modo que \(\mathbb{R} \times \mathbb{R}\) é ccc.

Solução: Suponha que existem posets \(\mathbb{P}, \mathbb{Q}\) tais que \(\mathbb{P} \times \mathbb{Q}\) não é ccc. Defina \(\mathbb{R}= \mathbb{P} \times \{ 0 \} \cup \mathbb{Q} \times \{1 \}\) e uma ordem parcial \(\leq\) sobre \(\mathbb{R}\) que satisfaça:

(i) \((p,0) \leq (q,1)\), para quaisquer \((p,0), (q,1) \in \mathbb{R}\);

(ii) \(q_1 \leq_{\mathbb{Q}} q_2 \implies (q_1, 1) \leq (q_2,1)\) e \(q_1 \perp_{\mathbb{Q}} q_2 \implies (q_1, 1) \perp (q_2,1), \ \forall q_1, q_2 \in \mathbb{Q} \);

(iii) \(p_1 \leq_{\mathbb{P}} p_2 \implies (p_1, 0) \leq (p_2,0)\) e \(p_1 \perp_{\mathbb{P}} p_2 \implies (p_1, 0) \perp (p_2,0), \ \forall p_1, p_2 \in \mathbb{P} \).

Primeiramente, provemos que, de fato, \(\leq\) é uma ordem parcial.

Para a reflexividade, cada elemento de \(\mathbb{R}\) pode ser escrito como \((r,0)\) ou \((r,1)\), herdando assim a reflexividade, em cada caso, de \(\leq_{\mathbb{P}}\) ou \(\leq_{\mathbb{Q}}\).

Já para a propriedade antissimétrica, tome \(r, s \in \mathbb{R}\) tais que \(r \leq s\) e \(s \leq r\). Suponha, por absurdo, que \(r = (r',0)\) e \(s = (s',1)\). Então, pelo item (i) da definição de \(\leq\), não vale \((s',1) \leq (r',0)\), sendo uma contradição. Portanto, temos \(r=(r',a), s=(s',a)\), com \(a \in \{0,1 \}.\). Se \(a = 0\), a antissimetria é herdada de \(\mathbb{P}\), caso contrário, de \(\mathbb{Q}\).

Para a transitividade, sejam \(r,s,t \in \mathbb{R}\) tais que \(r \leq s\) e \(s \leq t\). Escreva \(\mathbb{R}_0 = \mathbb{P} \times \{ 0 \} \) e \(\mathbb{R}_1 = \mathbb{Q} \times \{ 1 \}\). Assim, podemos analisar cada um dos casos:

(a) \(t \in \mathbb{R}_0\): segue que \(r,s \in \mathbb{R}_0\), e a transitividade segue de \(\leq_{\mathbb{P}}\);

(b) \(t \in \mathbb{R}_1, s \in \mathbb{R}_0\): claramente \(r \in \mathbb{R}_0\) e \(r \leq t\);

(c) \(s,t \in \mathbb{R}_1\): temos dois casos, \(r \in \mathbb{R}_0\) e \(r \in \mathbb{R}_1\). No primeiro caso, segue da definição de \(\leq\); já no segundo \(r \leq t\) por \(\leq_{\mathbb{Q}}\).

Portanto, \(\leq\) é uma ordem parcial. Provemos agora que \(\mathbb{R}\) é ccc. Seja \(A\) uma anticadeia. Podemos escrever \(A= (A \cap \mathbb{R}_0) \cup (A \cap \mathbb{R}_1)\). Defina \(\varphi: A \cap \mathbb{R}_0 \to \mathbb{P}\) como \(\varphi(p,0) = p\), e defina também \(\psi: A \cap \mathbb{R}_1 \to \mathbb{Q}\) pondo \(\psi(q,1)=q\). Naturalmente, \(Im(\varphi)\) e \(Im(\psi)\) são anticadeias em \(\mathbb{P}\) e \(\mathbb{Q}\), respectivamente; como estes últimos são ccc, ambas as imagens, e \(A \cap \mathbb{R}_0\) e \(A \cap \mathbb{R}_1\) são enumeráveis. Logo, \(A\) é a união de dois conjuntos enumeráveis e, por isso, é enumerável. Desse modo, \(\mathbb{R}\) é ccc.

Por fim, provemos que \(\mathbb{R} \times \mathbb{R}\) não é ccc. Pela hipótese de \(\mathbb{P} \times \mathbb{Q} \) não ser ccc, existe \(A \times B \subset \mathbb{P} \times \mathbb{Q}\) anticadeia não-enumerável. Seja \(\varphi: \mathbb{P} \times \mathbb{Q} \to \mathbb{R} \times \mathbb{R} \) dada por \(\varphi(p,q) = \langle (p,0), (q,1) \rangle\). Mostremos que \(\varphi(A \times B)\) é anticadeia não-enumerável em \(\mathbb{R} \times \mathbb{R}\). Denote por \(\preceq\) a ordem em \(\mathbb{P} \times \mathbb{Q}\) induzida pelas ordens \(\leq_{\mathbb{P}}\) e \(\leq_{\mathbb{Q}}\), isto é, \((p_1, q_1) \preceq (p_2,q_2)\) se \(p_1 \leq_{\mathbb{P}} p_2\) e \(q_1 \leq_{\mathbb{Q}} q_2\).

Claramente, a função \(\varphi\) é injetora, e, desse modo, preservando a cardinalidade, temos \(\varphi(A \times B)\) não-enumerável. Agora, precisamos mostrar que, se \((a,b), (c,d) \in A \times B\) são distintos, então \(\langle (a,0), (b,1) \rangle \perp \langle (c,0), (d,1) \rangle \). Façamos pela contrapositiva. Suponha \(\langle (a,0), (b,1) \rangle \leq \langle (c,0), (d,1) \rangle \). Disso, temos \((a,0) \leq (c,0)\) e \((b,1) \leq (d,1)\). Pela definição de \(\leq\), vale \(a \leq_{\mathbb{P}} b\) e \(c \leq_{\mathbb{Q}} d\), no qual \((a,b) \preceq (c,d)\). Faz-se o análogo para o caso \(\langle (c,0), (d,1) \rangle \leq \langle (a,0), (b,1) \rangle \). Com isso, provamos que, se \(\varphi(a,b)\) e \(\varphi(c,d)\) são compatíveis, então \((a,b), (c,d)\) também o são. Ou seja, se \((a,b) \perp (c,d)\), temos \(\varphi(a,b) \perp \varphi(c,d)\), e \(\varphi(A \times B)\) é uma anticadeia, provando o resultado.

Para a primeira parte do enunciado, basta supor que tais \(X, Y\) existem, e observar o Lema III.3.37, pondo \(Z\) como a soma disjunta de \(X,Y\). Vale a pena, por curiosidade, dar uma olhada no Exercício III.4.16, que estabelece uma equivalência interessante, e relacionada a este exercício.