Exercício IV.7.50
Posted: 21 Nov 2022 19:50
Enunciado:
Fixe \(\mathfrak{B}\) uma álgebra de boole completa, mostre que \(\mathfrak{B}\) colapsa \(\omega_1\) se e somente se existe \(b^\alpha_n \in \mathfrak{B}\) para \(n < \omega\) e \(\alpha < \omega_1\), onde cada \(\{b^\alpha_n : \alpha < \omega_1\}\) é uma anticadeia e \(\sup_{n \in \omega} b^\alpha_n = 1\).
Demonstração:
=> Pela suposição temos que \(\mathfrak{B}\) colapsa \(\omega_1\)
Isto é, \(1 \Vdash \omega_1\) é enumerável.
Assim pelo princípio do máximo, existe um nome \(\dot{f}\) tal que
\[ 1 \Vdash \dot{f}: \check{\omega} \rightarrow \check{\omega_1} \text{ sobrejetora }\]
vamos então relacionar esse nome \(\dot{f}\) com elementos de nossa álgebra de Boole da seguinte forma:
\[b_n^{\alpha} = [\![\dot{f}(\check{n}) = \check{\alpha}]\!]\]
resta mostrar que cada \(\{b^\alpha_n : \alpha < \omega_1\}\) é uma anticadeia e \(\sup_{n \in \omega} b^\alpha_n = 1\)
* Vamos supor que \(\{b^\alpha_n : \alpha < \omega_1\}\) não é uma anticadeia, ou seja,
\[ [\![\dot{f}(\check{n}) = \check{\alpha}]\!] \cdot [\![\dot{f}(\check{n}) = \check{\beta}]\!] \neq 0\]
e assim existe \(r \leq p,q\) tal que
\[r \Vdash \dot{f}(\check{n}) = \check{\alpha} \wedge \dot{f}(\check{n}) = \check{\beta}\]
o que é um absurdo, pois assim \(\dot{f}\) não estaria bem definida.
Vamos supor por absurdo que \(\sup_{n \in \omega} b^\alpha_n \neq 1\), ou seja, \(\bigcup_n b^\alpha_n \neq 1 \), dessa forma
\[1 - \bigcup_n b^\alpha_n \neq 0\]
assim existe \(b \in B\) incompatível com todos os outros \(b^\alpha_n\).
Como temos que \( 1 \Vdash \dot{f}: \check{\omega} \rightarrow \check{\omega_1} \text{ sobrejetora }\), isso implica que \( b \Vdash \dot{f}: \check{\omega} \rightarrow \check{\omega_1} \text{ sobrejetora }\).
Dessa forma existe algum \(c\) abaixo de \(b\) que decide ele, assim
\[ c \Vdash \dot{f}(\check{n}) = \check{\alpha} \]
mas sabemos que \(c \perp b \), pois \(b\) é incompatível com todos, um absurdo.
<= Existe \(b^\alpha_n \in \mathfrak{B}\) para \(n < \omega\) e \(\alpha < \omega_1\), onde cada \(\{b^\alpha_n : \alpha < \omega_1\}\) é uma anticadeia e \(\sup_{n \in \omega} b^\alpha_n = 1\)
Podemos tomar nossas anticadeias como maximais (Vamos chamar elas de \(B_n\) ), em cada uma delas, teremos \(n\) sendo relacionado com todos os \(\alpha\)´s.
Vamos então criar uma nova família de conjuntos \(D_{\alpha} = \{ p: \exists n \text{ tal que } p \leq b_n^{\alpha} \}\).
* Fixado \(\alpha\), \(\sup_{n \in \omega} b^\alpha_n = 1\), \(D_{\alpha}\) é fechado para baixo, assim vamos mostrar que \(D_{\alpha}\) é denso para cada \(\alpha\).
* Vamos supor que não é denso, portanto existe \(p\) no genérico tal que não existe \(q \leq p\) com \(q \in D_{\alpha}\), como \(q \leq b_n^{\alpha}\) portanto \(p \in B_n\), portanto existe \(b_k^{\alpha}\) que é compatível com \(p\), dessa forma existe \(r\) mais forte que ambas e portanto \(r \in D_{\alpha}\), um absurdo.
Assim nosso genérico intersecta pelo menos um elemento de cada \(D_\alpha\), e como nossos \(B_n\) são anticadeias, com isso temos que nosso genérico não possui elementos \(b_n^{\alpha} \text{ e } b_n^{\beta}\).
* para cada \(\alpha\) existe \(b_n^\alpha\) no genérico e se fixado \(n\) se \(b_n^{\alpha} \in \) no genérico \( \implies b_n^{\beta} \notin\), temos assim uma relação de cada \(n\) com um ou mais \(\alpha\)´s diferentes, portanto temos o colapso.
Fixe \(\mathfrak{B}\) uma álgebra de boole completa, mostre que \(\mathfrak{B}\) colapsa \(\omega_1\) se e somente se existe \(b^\alpha_n \in \mathfrak{B}\) para \(n < \omega\) e \(\alpha < \omega_1\), onde cada \(\{b^\alpha_n : \alpha < \omega_1\}\) é uma anticadeia e \(\sup_{n \in \omega} b^\alpha_n = 1\).
Demonstração:
=> Pela suposição temos que \(\mathfrak{B}\) colapsa \(\omega_1\)
Isto é, \(1 \Vdash \omega_1\) é enumerável.
Assim pelo princípio do máximo, existe um nome \(\dot{f}\) tal que
\[ 1 \Vdash \dot{f}: \check{\omega} \rightarrow \check{\omega_1} \text{ sobrejetora }\]
vamos então relacionar esse nome \(\dot{f}\) com elementos de nossa álgebra de Boole da seguinte forma:
\[b_n^{\alpha} = [\![\dot{f}(\check{n}) = \check{\alpha}]\!]\]
resta mostrar que cada \(\{b^\alpha_n : \alpha < \omega_1\}\) é uma anticadeia e \(\sup_{n \in \omega} b^\alpha_n = 1\)
* Vamos supor que \(\{b^\alpha_n : \alpha < \omega_1\}\) não é uma anticadeia, ou seja,
\[ [\![\dot{f}(\check{n}) = \check{\alpha}]\!] \cdot [\![\dot{f}(\check{n}) = \check{\beta}]\!] \neq 0\]
e assim existe \(r \leq p,q\) tal que
\[r \Vdash \dot{f}(\check{n}) = \check{\alpha} \wedge \dot{f}(\check{n}) = \check{\beta}\]
o que é um absurdo, pois assim \(\dot{f}\) não estaria bem definida.
Vamos supor por absurdo que \(\sup_{n \in \omega} b^\alpha_n \neq 1\), ou seja, \(\bigcup_n b^\alpha_n \neq 1 \), dessa forma
\[1 - \bigcup_n b^\alpha_n \neq 0\]
assim existe \(b \in B\) incompatível com todos os outros \(b^\alpha_n\).
Como temos que \( 1 \Vdash \dot{f}: \check{\omega} \rightarrow \check{\omega_1} \text{ sobrejetora }\), isso implica que \( b \Vdash \dot{f}: \check{\omega} \rightarrow \check{\omega_1} \text{ sobrejetora }\).
Dessa forma existe algum \(c\) abaixo de \(b\) que decide ele, assim
\[ c \Vdash \dot{f}(\check{n}) = \check{\alpha} \]
mas sabemos que \(c \perp b \), pois \(b\) é incompatível com todos, um absurdo.
<= Existe \(b^\alpha_n \in \mathfrak{B}\) para \(n < \omega\) e \(\alpha < \omega_1\), onde cada \(\{b^\alpha_n : \alpha < \omega_1\}\) é uma anticadeia e \(\sup_{n \in \omega} b^\alpha_n = 1\)
Podemos tomar nossas anticadeias como maximais (Vamos chamar elas de \(B_n\) ), em cada uma delas, teremos \(n\) sendo relacionado com todos os \(\alpha\)´s.
Vamos então criar uma nova família de conjuntos \(D_{\alpha} = \{ p: \exists n \text{ tal que } p \leq b_n^{\alpha} \}\).
* Fixado \(\alpha\), \(\sup_{n \in \omega} b^\alpha_n = 1\), \(D_{\alpha}\) é fechado para baixo, assim vamos mostrar que \(D_{\alpha}\) é denso para cada \(\alpha\).
* Vamos supor que não é denso, portanto existe \(p\) no genérico tal que não existe \(q \leq p\) com \(q \in D_{\alpha}\), como \(q \leq b_n^{\alpha}\) portanto \(p \in B_n\), portanto existe \(b_k^{\alpha}\) que é compatível com \(p\), dessa forma existe \(r\) mais forte que ambas e portanto \(r \in D_{\alpha}\), um absurdo.
Assim nosso genérico intersecta pelo menos um elemento de cada \(D_\alpha\), e como nossos \(B_n\) são anticadeias, com isso temos que nosso genérico não possui elementos \(b_n^{\alpha} \text{ e } b_n^{\beta}\).
* para cada \(\alpha\) existe \(b_n^\alpha\) no genérico e se fixado \(n\) se \(b_n^{\alpha} \in \) no genérico \( \implies b_n^{\beta} \notin\), temos assim uma relação de cada \(n\) com um ou mais \(\alpha\)´s diferentes, portanto temos o colapso.