[Resolução] 11.7.8
Posted: 16 Nov 2022 22:01
Enunciado:
Calcule o raio de convergência para:
\(\sum_{n = 0}^{\infty} a^{n^{2}}z^n, \; a < 0\)
Resolução:
Fazendo o teste da raiz, temos que:
\(\lim_{n \to \infty} (a^{n^2}z^n)^{\frac{1}{n}} = L\)
E sabemos que, pelo teorema, se \(L < 1\) a série converge e que o raio \(R\) é \(R = \frac{1}{L}\).
Assim:
\(lim_{n \to \infty} (a^{n^2}z^n)^{\frac{1}{n}} = lim_{n \to \infty} a^{n}z = z lim_{n \to \infty} a^{n} = 0z = 0 = L\)
Dessa forma, a série converge para o raio infinito, ou seja:
\(R = +\infty\)
Calcule o raio de convergência para:
\(\sum_{n = 0}^{\infty} a^{n^{2}}z^n, \; a < 0\)
Resolução:
Fazendo o teste da raiz, temos que:
\(\lim_{n \to \infty} (a^{n^2}z^n)^{\frac{1}{n}} = L\)
E sabemos que, pelo teorema, se \(L < 1\) a série converge e que o raio \(R\) é \(R = \frac{1}{L}\).
Assim:
\(lim_{n \to \infty} (a^{n^2}z^n)^{\frac{1}{n}} = lim_{n \to \infty} a^{n}z = z lim_{n \to \infty} a^{n} = 0z = 0 = L\)
Dessa forma, a série converge para o raio infinito, ou seja:
\(R = +\infty\)