[Resolução] 11.13.11

[IsraelSilva]

Enunciado:

Supondo a existência da expansão, verifique se os coeficientes têm a forma dada e mostre que a série converge. Dado \(a > 0\)
\( a^{x} = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{ (log a)^{n} }{ n! } x^{n} \)

[hint] \( a^{x} = e ^ {x log a} \)

Resolução :

Com a expansão da exponencial temos:

\( e^{x} = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{ x^{n} }{ n! } \)

Logo:

\( a^{x} = e^{(x log a)} = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{ (x log a)^{n} }{ n! } = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{ (log a)^{n} }{ n! } x^{n} \)

Com isso concluímos que os coeficientes da série tem a forma dada.

Agora, utilizaremos o teste da razão para verificar a convergência:

\( \lim_{n \to \infty} \frac{a_{n+1}}{a_n} = \lim_{n \to \infty} \frac{ (xloga)^{n+1} }{ (n+1)! }\frac{ n! }{ (xloga)^{n} } \)

\( \lim_{n \to \infty} \frac{a_{n+1}}{a_n} = \lim_{n \to \infty} \frac{ xloga }{n} = 0 \)

Como o limite converge para \(0\), concluímos que a série converge para todo x.