Tire uma dúvida, deixe uma dúvida

Boa noite a todos, o exercício que escolhi fazer da parte de Forcing é o IV.7.57 e tem o seguinte enunciado:

Assuma que \(\mathbb{P}\) é \(ccc\) em \(M\) e \(M[G]\models\Diamond\). Então \(M\models \Diamond\).

Vamos iniciar com a seguinte definição:

\(\textbf{Definição:}\) Seja \(\langle A_{\alpha} |\) \(\alpha<\omega_1\rangle\) uma sequência de conjuntos, onde cada \(A_{\alpha}\) é um subconjunto enumerável de \(\mathcal{P}(\alpha)\). Essa sequência é uma sequência \(\Diamond^-\) se, e somente se, \(\lbrace \alpha<\omega_1 |\) \(C\cap\alpha \in A_{\alpha}\rbrace \) é estacionário para todo \(C\subset \omega_1\). Então \(\Diamond^{-}\) é a afirmação de que existe uma sequência \(\Diamond^-\).

Considere \(\langle A_{\alpha} |\alpha <\omega_1\) uma sequência \(\Diamond\) em \(M[G]\) e tome \(p\in G\) tal que \(p\Vdash \langle \dot{A}_{\alpha}|\alpha <\omega_1\rangle\) é uma sequência \(\Diamond \). Vamos construir uma sequência \(\Diamond^-\) em \(M\) o que é suficiente para resolver o problema visto que \(\Diamond \leftrightarrow \Diamond^-\).

Agora considere em \(M\) para cada \(\alpha <\omega_1\) o seguinte conjunto \(A_{\alpha}=\lbrace A\subset \alpha |\) existe \(q\leq p, q\Vdash \check{A}=\dot{A}_{\alpha}\rbrace\). Vamos mostrar que esse conjunto é enumerável para cada \(\alpha<\omega_1\).
Se \(A,B\in A_{\alpha}\) com \(A\neq B\) então existem \(q_1,q_2 \leq p\) tais que \(q_1\Vdash \check{A}=\dot{A}_{\alpha}\) e \(q_2\Vdash \check{B}=\dot{A}_{\alpha}\), se \(q_1,q_2\) são comparáveis então existe \(q\leq q_1,q_2\) e portanto \(q\Vdash \check{A}=\check{B}\). Porem, como \(A\neq B\) temos que \(1\Vdash \check{A}\neq \check{B}\), o que é uma contradição. Assim \(q_1\bot q_2\). Agora suponha por absurdo que \(A_{\alpha}\) é não enumerável, então para cada elemento \(B_{\beta}\in A_{\alpha}\) deve existir \(q_{\beta}\leq p\) tal que \(q_{\beta}\Vdash \check{B_{\beta}}=\dot{A}_{\alpha}\), mas então o conjuntos desses \(q_{\beta}\) forma uma anticadeia não enumerável em \(\mathbb{P}\) o que é um absurdo, pois \(\mathbb{P}\) é \(ccc\). Portanto \(A_{\alpha}\) é enumerável para todo \(\alpha < \omega_1\).

Pelo Teorema IV.3.4 sabemos que \(\mathbb{P}\) preserva cardinais, pois é \(ccc\). Daí, dado um club \(F\) em \(M\) temos que \(\check{F}=\dot{F}\) é club em \(M[G]\). Dado \(C\subset \omega_1\) então em \(M[G]\) temos \(p\Vdash \langle \dot{A}_{\alpha}|\alpha <\omega_1\rangle\) é uma sequência \(\Diamond \) logo \(p\Vdash \lbrace \alpha<\omega_1 |\) \(C\cap \alpha =\dot{A}_{\alpha}\rbrace \) é estacionário, assim \(p\Vdash \lbrace \alpha<\omega_1 |\) \(C\cap \alpha =\dot{A}_{\alpha}\rbrace \cap \dot{F}\neq \emptyset\). Daí existem \(A\in A_{\alpha} \) e \(q\leq p\) tais que \(q\Vdash C\cap\alpha \in \dot{A}_{\alpha}=A\wedge \alpha\in \dot{F}=\check{F}\) e isso implica que existe \(q\leq p\) tal que \(q\Vdash C\cap \alpha \in A_{\alpha}\wedge \alpha\in \check{F}\) assim \(q\Vdash \lbrace \alpha<\omega_1 |\) \(C\cap \alpha\in A_{\alpha}\rbrace \cap F\neq \emptyset\) então em \(M\), \(q\Vdash\lbrace \alpha<\omega_1 |\) \(C\cap \alpha\in A_{\alpha}\rbrace\) é estacionário, logo \(q\Vdash \langle A_{\alpha} |\) \(\alpha<\omega_1\rangle\) é uma sequência \(\Diamond^-\), ou seja, \(M\vDash \Diamond^-\) e portanto \(M\vDash \Diamond \).

A ideia está certa. Mas, no finalzinho, tem coisa que daria para escrever um pouco melhor.
Por exemplo, "dado \(F \in M\) club, temos que que \(1 \Vdash \check F\) é club".