[Resolução] 11.13.7

[MatheusSilva]

ENUNCIADO:

Encontre todos os X reais que a serie converge e compute a soma total:

\(
\sum_{\infty}^{0} {(-1)^n \over 2n+1} * ({x \over 2})^{2n}
\)

SOLUÇÃO:

\(

Refatoração:
\\
\sum_{\infty}^{0} {(-1)^n \over 2n+1} * ({x \over 2})^{2n} = \sum_{\infty}^{0} {{(-1)^n*({x^2 \over 4})^n} \over 2n +1}
\\
Teste do raio:
\\
\\
\lim _{n \rightarrow \infty }\left| \dfrac{a_{n}+1}{a_{n}}\right| = \lim _{n\rightarrow 0}\left( \dfrac{\left( \dfrac{x^{2}}{4}\right) ^{n+1}}{2n+3}\right) \left( \dfrac{2n+1}{\left( \dfrac{x^{2}}{1}\right) ^{4}}\right)
\\
= ({x^2 \over 4}) * ({2n+1 \over 2n+3})

\\

= {x^2 \over 4}

\\
\)
Assim, a serie converge para todo x com x^2 < 4, ou |x| < 2. a qual vai resultar em:

\(
= ({2 \over x}) arctan ({x \over 2})
\)