Para \( f(n) = \frac{100,000n}{1+n^2}\):
- Dizer se a sucessão converge ou diverge
- Determinar o limite, caso seja convergente
Observando o limite de \(f(n)\) quando \( n \rightarrow \infty \), é possível afimar que:
\( \lim_{n\rightarrow \infty}{\frac{100,000n}{1+n^2}} = \lim_{n\rightarrow \infty}\frac{n}{n}\cdot\frac{(100,000)}{(\frac{1}{n}+ n)} = 100,000\cdot \lim_{n\rightarrow \infty} \frac{1}{\frac{1}{n}+n}\)
\(100,000\cdot\lim_{n\rightarrow \infty} \frac{1}{\underbrace{\frac{1}{n}}_{\text{tende a 0}}+ \underbrace{n}_{\text{tende a \(\infty\)}}} = 100,000\cdot 0 = 0\)
Portanto, é possível afirmar que f(n) converge para 0.
Resolução Alternativa
Observando o limite de \(f(n)\) quando \( n \rightarrow \infty \):
\( \lim_{n\rightarrow \infty}{\frac{\overbrace{100,000n}^{g(n)}}{\underbrace{1+n^2}_{h(n)}}} = \lim_{n\rightarrow \infty}{\frac{g(n)}{h(n)}} \)
Percebe-se também que \(\lim_{n\rightarrow \infty}g(n) = \infty\) e \(\lim_{n\rightarrow \infty}h(n) = \infty\).
Por L`Hopital, tem-se que:
\( \lim_{n\rightarrow \infty}{\frac{g(n)}{h(n)}} = \lim_{n\rightarrow \infty}{\frac{g'(n)}{h'(n)}}\)
Visto que:
\(g'(n) = 100,000\)
\(h'(n) = 2n\)
Então:
\(\lim_{n\rightarrow \infty}{\frac{100,000}{2n}} = 50,000\cdot\lim_{n\rightarrow \infty}{\frac{1}{n}} = 0\)
O que corrobora a resposta anterior de que f(n) converge para 0.
