Determinar o raio de convergência de R e checar a convergência nas bordas para a série de potência \( \sum^\inf_{n=1} [1 - (-2)^n]z^n \).
Podemos realizar um teste de comparação no limite com a série geométrica \( \sum^\inf_{n=1} -2z^n \).
Testamos pela convergência absoluta da seguinte maneira:
\(
\lim_{n \rightarrow \infty} \frac{|[1 - (-2)^n] z^n|}{|( -2z)^n|} = \frac{|z^n - (-2z)^n|}{|(-2z)^n|} = |\frac{z^n}{(-2z)^n} - \frac{(-2z)^n}{(-2z)^n}| = | (\frac{1}{-2})^n - 1|
\\
\\
(\frac{1}{-2}))^n \rightarrow 0 \\
-1 \rightarrow -1
\\
| 0 - 1 | = 1
\)
Portanto ambos têm a mesma natureza de convergência.
Pela definição da série geométrica, sabemos que:
- O raio de convergência será \( |-2z| < 1 \rightarrow |z| < 1/2 \)
- Não converge nos pontos de borda \( (z = \frac{1}{2}, z = \frac{-1}{2}) \)