[Resolução] 11.7.12
Posted: 13 Oct 2022 10:37
Enunciado
Determine o raio de convergência de
\(\sum_{n=0}^{\infty} (1 + \frac{1}{n})^{n^{2}} \cdot z^{n}\)
Resolução
Fazendo a substituição \(b_{n} = \sqrt[n]{a_{n}} \) (Teste da Raiz)
Obtendo o limite para \(b_{n}\), de modo a comparar com a razão que buscamos (\(\lim_{n\rightarrow \infty} a_{n}\)):
\(\lim_{n\rightarrow \infty} b_{n} = \lim_{n\rightarrow \infty}(1 + \frac{1}{n})^{n} \cdot z = e \cdot z\), basta satisfazer a inequação \(b_{n} < 1\).
Logo, isolando a variável z em \(b_{n} < 1\), temos que \(|z| < 1/e\) (com notação em r: \(|r| < 1/e\))
Determine o raio de convergência de
\(\sum_{n=0}^{\infty} (1 + \frac{1}{n})^{n^{2}} \cdot z^{n}\)
Resolução
Fazendo a substituição \(b_{n} = \sqrt[n]{a_{n}} \) (Teste da Raiz)
Obtendo o limite para \(b_{n}\), de modo a comparar com a razão que buscamos (\(\lim_{n\rightarrow \infty} a_{n}\)):
\(\lim_{n\rightarrow \infty} b_{n} = \lim_{n\rightarrow \infty}(1 + \frac{1}{n})^{n} \cdot z = e \cdot z\), basta satisfazer a inequação \(b_{n} < 1\).
Logo, isolando a variável z em \(b_{n} < 1\), temos que \(|z| < 1/e\) (com notação em r: \(|r| < 1/e\))
