[Resolução] 11.7.6
Posted: 13 Oct 2022 10:28
Enunciado:
Determinar o raio de convergência r da série de potências:
\(\sum^{\infty}_{n=1} \frac{n!z^n}{n^n}\)
Teste a convergência nos pontos de fronteira se r for finito.
Resolução:
Sendo \(a_n = \frac{n!z^n}{n^n}\). Então:
\(\lim_{n\to\infty} \frac{a_{n+1}}{a_n}=\lim_{n\to\infty}\Bigg(\frac{(n+1)!z^{n+1}}{(n+1)^{n+1}}\Bigg)\Bigg(\frac{n^n}{n!z^n}\Bigg)\)
\(=\lim_{n\to\infty} \frac{zn^n(n+1)}{(n+1)^{n+1}}\)
\(=\lim_{n\to\infty} \Bigg( \frac{zn^{n+1}}{(n+1)^{n+1}}+\frac{zn^n}{(n+1)^{n+1}} \Bigg)\)
\(=\lim_{n\to\infty} \Bigg( \frac{n}{n+1}\cdot \Bigg(\frac{n}{n+1}\Bigg)^n z\Bigg)\)
\(=1\cdot\frac{1}{e}\cdot z\)
\(=\frac{z}{e}\)
Assim, a série converge \(|\frac{z}{e}|<1\) o que implica \(|z| < e\) ou o raio de convergência é \(r = e\). Diverge nos pontos de fronteira já que os termos não vão a 0.
Determinar o raio de convergência r da série de potências:
\(\sum^{\infty}_{n=1} \frac{n!z^n}{n^n}\)
Teste a convergência nos pontos de fronteira se r for finito.
Resolução:
Sendo \(a_n = \frac{n!z^n}{n^n}\). Então:
\(\lim_{n\to\infty} \frac{a_{n+1}}{a_n}=\lim_{n\to\infty}\Bigg(\frac{(n+1)!z^{n+1}}{(n+1)^{n+1}}\Bigg)\Bigg(\frac{n^n}{n!z^n}\Bigg)\)
\(=\lim_{n\to\infty} \frac{zn^n(n+1)}{(n+1)^{n+1}}\)
\(=\lim_{n\to\infty} \Bigg( \frac{zn^{n+1}}{(n+1)^{n+1}}+\frac{zn^n}{(n+1)^{n+1}} \Bigg)\)
\(=\lim_{n\to\infty} \Bigg( \frac{n}{n+1}\cdot \Bigg(\frac{n}{n+1}\Bigg)^n z\Bigg)\)
\(=1\cdot\frac{1}{e}\cdot z\)
\(=\frac{z}{e}\)
Assim, a série converge \(|\frac{z}{e}|<1\) o que implica \(|z| < e\) ou o raio de convergência é \(r = e\). Diverge nos pontos de fronteira já que os termos não vão a 0.